Liczby Fermata

Liczba Fermata – liczba naturalna postaci $F_{n}=2^{2^{n}}+1,$ gdzie $n$ jest nieujemną liczbą całkowitą. Nazwano je tak dla upamiętnienia francuskiego matematyka Fermata, który pierwszy badał ich własności.

Faktoryzacje liczb Fermata

Oto kilka początkowych liczb Fermata:

$F_{0}=2^{1}+1=3$

$F_{1}=2^{2}+1=5$

$F_{2}=2^{4}+1=17$

$F_{3}=2^{8}+1=257$

$F_{4}=2^{16}+1=65537$

$F_{5}=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417$

$F_{6}=2^{64}+1=18446744073709551617=274177\cdot 67280421310721$

$F_{7}=2^{128}+1=340282366920938463463374607431768211457=59649589127497217\cdot 5704689200685129054721$

(ciąg A000215 w OEIS)

Liczby Fermata a pierwszość

Początkowe liczby Fermata $F_{0},\dots ,F_{4}$ są liczbami pierwszymi. Fermat wyraził przypuszczenie, że wszystkie liczby postaci $2^{2^{n}}+1$ są pierwsze, jednak Euler w roku 1732 pokazał, że $F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417,$ czyli $F_{5}$ jest liczbą złożoną.

Do chwili obecnej jedynymi znanymi liczbami pierwszymi Fermata są właśnie $F_{0},F_{1},F_{2},F_{3},F_{4}$ i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

Zauważmy, że jeżeli liczba $2^{n}+1$ jest liczbą pierwszą, to $n$ musi być potęgą 2, wobec tego każda liczba pierwsza tej postaci jest liczbą pierwszą Fermata.

Metoda T. Pépina sprawdzania pierwszości

W roku 1877 francuski matematyk Théophile Pépin określił metodę sprawdzania, czy konkretna liczba Fermata jest liczbą pierwszą.

Dla $n>1,$ jeśli $m=(F_{n}-1)/2,$ to $F_{n}$ jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli $3^{m}+1.$

Przykład

• liczba $F_{2}=17,$
• zatem $m=8,$
• więc $3^{8}+1=6562,$
• $6562/17=386$
• dzieli się zatem bez reszty, co świadczy o pierwszości liczby $F_{2}.$

Wzory rekurencyjne

Liczby Fermata spełniają następujące zależności rekurencyjne:

• $F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1,$
• $F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2},$
• $F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2},$
• $F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2$

dla $n\geqslant 2.$

Najprostszy dowód tych własności polega na zastosowaniu indukcji matematycznej. Z ostatniej z nich wynika twierdzenie Goldbacha:

wszystkie liczby Fermata są względnie pierwsze

Jako natychmiastowy wniosek otrzymuje się stąd dowód faktu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele – każda liczba Fermata jest albo pierwsza, albo ma dzielnik pierwszy, który nie dzieli żadnej z pozostałych liczb Fermata.

Własności

Kilka dalszych własności liczb Fermata:

• Jeżeli $n\geqslant 2,$ to $F_{n}\equiv 17{\mbox{ albo }}41{\pmod {72}}$ (zobacz: kongruencja)
• Jeśli $n\geqslant 2,$ to $F_{n}\equiv 17,37,57,{\mbox{ albo }}97{\pmod {100}}.$
• Liczba $D(n,b)$ cyfr liczby $F_{n}$ w pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie $b$ jest równa $D(n,b)=\left\lfloor \log _{b}\left(2^{2^{n}}+1\right)+1\right\rfloor \approx \lfloor 2^{n}\,\log _{b}2+1\rfloor$ (zobacz: funkcja podłoga)
• Żadna liczba Fermata oprócz $F_{1}=5$ nie daje się przedstawić jako suma dwóch liczb pierwszych.
• Żadna liczba pierwsza Fermata nie daje się przedstawić jako różnica dwóch $p$-tych potęg, gdzie $p$ jest liczbą pierwszą większą od 2.

Więcej o liczbach pierwszych Fermata

Dowodząc, że $F_{5}$ jest liczbą złożoną, Euler zauważył, że każdy dzielnik liczby $F_{n}$ musi mieć postać $k2^{n+1}+1.$ Dla $n=5$ oznacza to, że jedynie liczby postaci $64k+1$ mogą dzielić $F_{n};$ dla biegłych w arytmetyce matematyków XVIII wieku sprawdzenie, czy któraś z początkowych liczb tej postaci dzieli $F_{5},$ nie było żadnym problemem.

Poniższe problemy dotyczące liczb pierwszych Fermata nadal pozostają otwarte:

• Czy $F_{n}$ jest liczbą złożoną dla $n>4$?
• Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata?
• Czy istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Fermata?

W chwili obecnej (2004) wiadomo, że dla $5\leqslant n\leqslant 32$ wszystkie liczby $F_{n}$ są złożone, jednak ich rozkłady na czynniki pierwsze znane są jedynie dla $n\leqslant 11.$ Największą znaną złożoną liczbą Fermata jest $F_{2478782},$ a jednym z jej czynników pierwszych jest $3\cdot 2^{2478785}+1.$

27 sierpnia 2000 roku nestor Sergio de Aranjo Melo stwierdził, że dla $n=35563$ liczba Fermata ma dzielnik: $357\cdot 2^{35567}+1.$

Poniżej kilka warunków dotyczących równoważnych temu, by dana liczba Fermata była pierwsza.

• Twierdzenie Protha: Niech $N=k2^{m}+1,$ gdzie $k$ jest nieparzyste i mniejsze od $2^{m}.$ Jeżeli istnieje liczba całkowita $a$ taka, że:

$a^{(N-1)/2}\equiv -1{\pmod {N}}$

to $N$ jest liczbą pierwsza. Na odwrót, jeśli powyższa kongruencja nie zachodzi oraz

$\left({\frac {a}{N}}\right)=-1$ (zobacz: symbol Jacobiego),

to $N$ jest liczbą złożoną. Jeżeli $N=F_{n}>3,$ to powyższy symbol Jakobiego jest zawsze równy $-1.$

• Niech $n\geqslant 3-n$ jest liczbą pierwszą Fermata wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $a$ względnie pierwszej z $n,$ $a$ jest pierwiastkiem pierwotnym ${\bmod {n}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ jest nieresztą kwadratową ${\bmod {n}}.$
• Liczba Fermata $F_{n}>3$ jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy można ją przedstawić tylko jednym sposobem jako sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych:

$F_{n}=\left(2^{2^{n-1}}\right)^{2}+1^{2}.$

Stąd nowy dowód, że $F_{5}$ nie jest pierwsza, bowiem $F_{5}=62264^{2}+20449^{2}.$ Podobnie $F_{6}=4046803256^{2}+1438793759^{2}$ i $F_{7}=16382350221535464479^{2}+8479443857936402504^{2}.$

Liczby pierwsze Fermata w geometrii

Twierdzenie Gaussa-Wantzela mówi, że $n$-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą postaci $2^{k}p_{1}p_{2}\dots p_{s},$ gdzie $p_{1},p_{2},\dots p_{s}$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Tak więc, konstruowalny jest pięciokąt foremny $(k=0,s=1,p_{1}=F_{1})$ i sześciokąt foremny $(k=1,s=1,p_{1}=F_{0}),$ ale już nie siedmiokąt foremny.

Linki zewnętrzne

• Liczby Fermata, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 10 października 2017 [dostęp 2024-09-04].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fermat Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-07-02].
• Fermat prime (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-12].