Funkcja pierwsza omega

Funkcja pierwsza omega, funkcja omega (ang. Omega prime function) – jedna z dwóch funkcji arytmetycznych zliczających dzielniki pierwsze danej liczby naturalnej. Pierwsza z nich, czyli $\omega$ zlicza dzielniki pierwsze bez wielokrotności, a druga, czyli $\Omega$ zlicza je wraz z wielokrotnościami.

Jeśli $n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}}$ jest rozkładem liczby $n$ na czynniki pierwsze, to

$\omega (n)=\omega (p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}})=k$

oraz

$\Omega (n)=\Omega (p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}})=e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{k}.$

Dla $n=1$ przyjmujemy $\omega (n)=\Omega (n)=0$.

Własności

Funkcja $\omega$ jest addytywna, a $\Omega$ jest całkowicie addytywna.

Pierwszą funkcję można zdefiniować jako

$\omega (n)=\sum _{p|n}1,$

tzn. sumowanie 1 po wszystkich dzielnikach pierwszych $n,$ a drugą

$\Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }|n}1=\sum _{p^{\alpha }||n}\alpha ,$

gdzie zapis $p^{\alpha }||n$ oznacza, że $p^{\alpha }|n,$ ale $p^{\alpha +1}\not \mid n.$

W ogólności zachodzi nierówność $\Omega (n)\geqslant \omega (n),$ przy czym $\Omega (n)=\omega (n)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą bezkwadratową.

Powiązanie z innymi funkcjami arytmetycznymi

Za pomocą funkcji $\Omega$ można zdefiniować funkcje Liouville’a i Möbiusa.

Dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi $\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}$ i dla każdej $n$ bezkwadratowej zachodzi $\mu (n)=(-1)^{\Omega (n)}.$