Keplerjev trikotnik

Par Keplerjevih trikotnikov v pravokotniku s stranicama $a\!\,$ in $b=a{\sqrt {\Phi }}\!\,$ ter diagonalama $d=a\Phi \!\,$. Trikotnika sta edina pravokotna trikotnika z dolžinami stranic v geometrijskem zaporedju ($1,{\sqrt {\Phi }},\Phi ,\Phi {\sqrt {\Phi }},\Phi ^{2},\cdots \!\,$).

Keplerjev trikotnik je posebni pravokotni trikotnik, ki ga tvorijo trije kvadrati s ploščinami v geometrijskem zaporedju glede na zlati rez s količnikom $\Phi \!\,$.

Keplerjev trikotnik (ali tudi zlati pravokotni trikotnik) je posebni pravokotni trikotnik z dolžinami stranic v gemetrijskem zaporedju. Količnik zaporedja je enak ${\sqrt {\Phi }}\!\,$, kjer je $\Phi =(1+{\sqrt {5}})/2\!\,$ zlati rez, zaporedje pa se lahko zapiše kot $1:{\sqrt {\Phi }}:\Phi \!\,$ ali približno $1:1,272:1,618\!\,$. Kvadrati ob njegovih stranicah imajo ploščine v drugem geometrijskem zaporedju ${\displaystyle 1:\Phi$ :\Phi ^{2}\!\,} . Alternativne definicije istega trikotnika ga označujejo s tremi pitagorejskimi sredinami dveh števil ali s polmerom včrtane krožnice enakokrakih trikotnikov.

Trikotnik se imenuje po Johannesu Keplerju, vendar ga je mogoče najti tudi v starejših virih. Čeprav nekateri viri trdijo, da so imele staroegipčanske piramide razmerja, ki so temeljila na Keplerjevem trikotniku, večina učenjakov meni, da egipčanska matematika in arhitektura nista poznala zlatega reza.

Zgodovina

Kepler trikotnik se imenuje po nemškem matematiku in astronomu Johannesu Keplerju (1571–1630), ki je pisal o njegovi obliki v pismu leta 1597. Keplerja sta zanimala dva koncepta, ki ju je mogoče uporabiti za analizo tega trikotnika, Pitagorov izrek in zlati rez, kot je zapisal drugje:

Geometrija ima dva velika zaklada: eden je Pitagorov izrek, drugi pa delitev premice na skrajno in srednjo točko. Prvega lahko primerjamo z maso zlata, drugega pa lahko imenujemo dragocen dragulj.

Vendar Kepler ni bil prvi, ki je opisal ta trikotnik. Kepler sam ga je pripisal »profesorju glasbe po imenu Magirus«. Isti trikotnik se pojavlja že prej v knjigi arabske matematike Knjiga merjenj (Liber mensurationum) Abû Bekre, znani iz prevoda Gerarda iz Cremone v latinščino iz 12. stoletja, in v knjigi Leonarda Fibonaccija Praktična geometrija (Practica geometriae, objavljeni v letih 1220–1221), ki ga je definiral podobno kot Kepler. Malo prej kot Kepler je o njem leta 1567 pisal Pedro Nunes in »je bil verjetno razširjen v poznosrednjeveških in renesančnih rokopisnih tradicijah«. Prav tako je bil večkrat neodvisno ponovno odkrit, pozneje kot Kepler.

Pravokotni trikotnik, ki ga tvorijo središče osnovnice stranske ploskve, središče osnovnice in vrh kvadratne piramide. Nekateri piramidologi so teoretizirali, da je bil trikotnik, ki je bil na ta način oblikovan za Veliko piramido v Gizi, mišljen kot Keplerjev trikotnik.

Po mnenju nekaterih avtorjev »zlata piramida« z dvojnim Keplerjevim trikotnikom v preseku natančno opisuje zasnovo egipčanskih piramid, kot je Velika piramida v Gizi  – en vir te teorije je napačna interpretacija Herodota, ki jo je iz 19. stoletja naredil piramidolog John Taylor. Za isto piramido je bilo predlaganih veliko drugih teorij o proporcih, ki niso povezane s Keplerjevim trikotnikom. Ker so si te različne teorije zelo podobne v številskih vrednostih, ki jih dobijo, in zaradi netočnosti pri merjenjih, ki jih deloma povzroča uničenje zunanje površine piramide, je takšne teorije težko razrešiti zgolj na podlagi fizičnih dokazov. Ujemanje proporcev s Keplerjevim trikotnikom je lahko numerično naključje: po mnenju znanstvenikov, ki so raziskovali to razmerje, stari Egipčani najverjetneje niso poznali ali uporabljali zlatega reza v svoji matematiki ali arhitekturi. Namesto tega je mogoče proporce piramide ustrezno pojasniti s pomočjo celoštevilskih razmerij, ki temeljijo na pravokotnem trikotniku s stranicama 11 in 14.

Ime »Keplerjev trikotnik« za ta lik je Roger Herz-Fischler na podlagi Keplerjevega pisma iz leta 1597 uporabil že leta 1979. Drugo ime za isti trikotnik, ki ga je Matila Ghyka uporabil v svoji knjigi o zlatem rezu iz leta 1946, Geometrija umetnosti in življenja (The Geometry of Art and Life), je »Priceov trikotnik«, po piramidologu W. A. Priceu. Price je tudi dokazal, da je Keplerjev trikotnik edini pravokotni trikotnik v katerem dolžine stranic tvorijo geometrijsko zaporedje.

Definicije

Ko se iz dveh Keplerjevih trikotnikov, zrcaljenih čez njuna daljša kraka, tvori enakokraki trikotnik, ima ta največji možni polmer včrtane krožnice med vsemi enakokrakimi trikotniki z dano velikostjo.

Keplerjev trikotnik je enolično definiran z lastnostima, da je pravokotni trikotnik in da dolžine njegovih stranic tvorijo geometrijsko zaporedje, oziroma, kar je enakovredno, da kvadrati njegovih stranic tvorijo geometrijsko zaporedje. Razmerje progresije dolžin stranic je ${\sqrt {\Phi }}\!\,$, kjer je $\Phi =(1+{\sqrt {5}})/2\!\,$ zlati rez, zaporedje pa se lahko zapiše kot: $1:{\sqrt {\Phi }}:\Phi \!\,$, ali približno 1 : 1,272 : 1,618. Kvadrati stranic tega trikotnika imajo ploščine v drugem geometrijskem zaporedju ${\displaystyle 1:\Phi$ :\Phi ^{2}\!\,} . Dejstvo, da je trikotnik s temi razmerji pravokotni trikotnik, izhaja iz dejstva, da je za kvadrate dolžin stranic s temi razmerji definirajoči polinom zlatega reza enak formuli, ki jo da Pitagorov izrek za kvadrate dolžin stranic pravokotnega trikotnika:

$\Phi ^{2}=\Phi +1\!\,.$

Ker ta enačba velja za zlati rez, za te tri dolžine velja Pitagorov izrek in tvorijo pravokotni trikotnik. Nasprotno pa v poljubnem pravokotnem trikotniku, katerega kvadrati dolžin stranic tvorijo geometrijsko zaporedje s poljubnim razmerjem $\rho \!\,$, iz Pitagorovega izreka izhaja, da za to razmerje velja enakost $\rho ^{2}=\rho +1\!\,$. Zato mora biti razmerje edina pozitivna rešitev te enačbe  – zlati rez, in trikotnik mora biti Keplerjev trikotnik.

Tri dolžine stranic $1\!\,$, ${\sqrt {\Phi }}\!\,$ in $\Phi \!\,$ so harmonična, geometrična in aritmetična sredina dveh števil $\Phi \pm 1\!\,$:

$1=H(\Phi +1,\Phi -1)={\frac {2}{{\frac {1}{\Phi +1}}+{\frac {1}{\Phi -1}}}}={\frac {2(\Phi +1)(\Phi -1)}{\Phi +1+\Phi -1}}={\frac {\Phi ^{2}-1}{\Phi }}\!\,,$

${\sqrt {\Phi }}=G(\Phi +1,\Phi -1)={\sqrt {(\Phi +1)(\Phi -1)}}={\sqrt {\Phi ^{1}-1}}\!\,,$

$\Phi =A(\Phi +1,\Phi -1)={\frac {1}{2}}((\Phi +1)+(\Phi -1))\!\,.$

Vsi ti trije načini združevanja dveh števil so bili preučevani v starogrški matematiki in se imenujejo pitagorejske sredine. Nasprotno pa se lahko to vzame kot alternativno definicijo Keplerjevega trikotnika  – to je pravokotni trikotnik, katerega dolžine stranic so tri pitagorejske sredine kakšnih dveh števil. In edini trikotniki, za katere to velja, so Keplerjevi trikotniki.

Tretji, enakovreden način definiranja tega trikotnika izhaja iz problema maksimiranja polmera včrtane krožnice enakokrakih trikotnikov. Med vsemi enakokrakimi trikotniki s fiksno izbiro dolžine obeh krakov, vendar s spremenljivo dolžino osnovnice, je tisti z največjim polmerom včrtane krožnice oblikovan iz dveh kopij Keplerjevega trikotnika, zrcaljenih čez njuni daljši kateti drug od drugega. Zato se lahko Keplerjev trikotnik definira kot pravokotni trikotnik, ki med vsemi pravokotnimi trikotniki z isto hipotenuzo s svojim zrcaljenjem tvori enakokraki trikotnik z največjim polmerom včrtane krožnice. Isto zrcaljenje tvori tudi enakokraki trikotnik, ki za dani obseg vsebuje največjo možno polkrožnico.

Splošne lastnosti

Keplerjev trikotnik v kvadratu. Njegova očrtana krožnica in ta kvadrat imata približno enak obseg

V Coxeterjevem loksodromskem zaporedju tangentnih krožnic središča vsake od sosednjih krožnic tvorijo večji nepravi kot $\beta \!\,$ Keplerjevega trikotnika.

Če ima najkrajša stranica Keplerjevega trikotnika dolžino $s\!\,$, bosta imeli drugi dve stranici dolžini $s{\sqrt {\Phi }}\!\,$ in $s\Phi \!\,$. Ploščina se lahko izračuna s standardno formulo za pravokotne trikotnike (polovica produkta dveh krajših stranic) kot:

$p={\frac {s^{2}}{2}}{\sqrt {\Phi }}\!\,.$

Kosinus večjega od dveh nepravih kotov je enak razmerju med sosednjo kateto (krajšo od obeh stranic) $a\!\,$ in hipotenuzo $c\!\,$, ki je enak $\Phi \!\,$, iz česar sledi, da sta neprava ostra notranja kota enaka:

$\alpha =\sin ^{-1}{\frac {1}{\Phi }}\approx 38,172\,7^{\circ }\!\,,$

$\beta =\cos ^{-1}{\frac {1}{\Phi }}\approx 51,827\,3^{\circ }\!\,.$

Jerzy Kocik je opazil, da je večji od teh dveh nepravih kotov $\beta \!\,$ tudi kot, ki ga tvorijo središča trojic zaporednih krožnic v Coxeterjevem loksodromskem zaporedju tangentnih krožnic.

Konstrukcije

Metoda za konstrukcijo Keplerjevega trikotnika z uporabo zlatega pravokotnika.

Keplerjev trikotnik se lahko skonstruira z (neoznačenim) ravnilom in s šestilom tako, da se najprej nariše zlati pravokotnik, oziroma da se skonstruira zlati rez na naslednji način:

1. skonstruira se kvadrat (na sliki s stranico dolžine $a=1\!\,$)
2. od sredine ene stranice kvadrata do nasprotnega oglišča se nariše daljica
3. s to daljico se nariše lok s polmerom, ki določa daljšo stranico pravokotnika
4. dopolni se zlati pravokotnik (zlati rez)
5. z daljšo stranico tega pravokotnika se nariše lok, ki pri sekanju nasprotne stranice pravokotnika določa dolžini hipotenuze in daljše katete Keplerjevega trikotnika.

Kepler je ta trikotnik skonstruiral drugače. V pismu svojemu nekdanjemu učitelju Michaelu Maestlinu, je zapisal: »Če konstruiramo pravokotni trikotnik na premici, razdeljeni v ekstremnem in srednjem razmerju tako, da je pravi kot v delilni točki, bo krajša stranica enaka daljšemu odseku razdeljene premice.«

Matematično naključje

Obravnava se Keplerjev trikotnik z dolžinami stranic $a,a{\sqrt {\Phi }},a\Phi \!\,$ kateremu je očrtana krožnica in kvadrat z dolžino stranice enaki dolžini večje katete trikotnika. Vidi se, da se obseg kvadrata $4a{\sqrt {\Phi }}\!\,$ in obseg krožnice $a\pi \Phi \!\,$ ujemata s točnostjo 0,1 %.

To je matematično naključje (OEIS A202142), (OEIS A392216):

${\begin{aligned}\pi \approx {\frac {4}{\sqrt {\Phi }}}&={\sqrt {8{\sqrt {5}}-8}}=2{\sqrt {2{\sqrt {5}}-2}}\\&=3,144\,605\,511\,029\,693\,144\,278\,234\,343\,371\,835\,718\,092\,488\,231\,350\cdots \\&=3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}\\&\equiv [3;6,1,10,1,4,2,2,1,2,5,1,4,1,4,2,2,19,2,1,2,1,51,3,5,1,2,7,1,2,3,1,1\cdots ]\\&=\left\{2,{\frac {19}{6}},{\frac {22}{7}},{\frac {239}{76}},{\frac {261}{83}},{\frac {1283}{408}},{\frac {2827}{899}},{\frac {6937}{2206}},{\frac {9764}{3105}},{\frac {26465}{8416}},{\frac {142089}{45185}},{\frac {168554}{53601}},{\frac {816305}{259589}},\right.\\&\qquad \left.{\frac {984859}{313190}},{\frac {4755741}{1512349}},\ldots \right\}\!\,.\end{aligned}}$

Ta kvadrat in krožnica ne moreta imeti popolnoma enakega obsega, saj bi to rešilo klasični nerešljiv problem kvadrature kroga, ki ga je nemogoče rešiti, ker je $\pi \!\,$ transcendentno število  – $\pi \neq 4/{\sqrt {\Phi }}\!\,.$

Glej tudi

• avtomedianski trikotnik, trikotnik, katerega kvadrati dolžin stranic tvorijo aritmetično zaporedje, vključno s pravokotnim trikotnikom z dolžinami stranic $1:{\sqrt {2}}:{\sqrt {3}}\!\,$.
• zlati trikotnik, enakokraki trikotnik, katerega razmerje med osnovnico in dolžino krakov je enako zletemu rezu.

Viri

• Anglin, William Sherron Raymond (1994), »Great pyramid nonsense«, Mathematics: a concise history and philosophy, (Undergraduate Texts in Mathematics) (1. izd.), New York: Springer-Verlag, str. 265, COBISS 3027545, doi:10.1007/978-1-4612-0875-4, eISSN 2197-5604, ISBN 978-0-387-94280-3, ISSN 0172-6056, LCCN 94008075, MR 1301327, OCLC 30079071

• Bartlett, Christopher (14. maj 2014), »The Design of The Great Pyramid of Khufu«, Nexus Network Journal, 16 (2): 299–311, doi:10.1007/s00004-014-0193-9, eISSN 1522-4600, ISSN 1590-5896, S2CID 122021107

• Bruce, Ian (1994), »Another instance of the golden right triangle« (PDF), Fibonacci Quarterly, 32 (3): 232–233, doi:10.1080/00150517.1994.12429219, ISSN 0015-0517, MR 1285752, arhivirano (PDF) iz spletišča dne 29. januarja 2022, pridobljeno 29. januarja 2022

• Busard, Hubert L. L. (april–junij 1968), »L'algèbre au Moyen Âge : le "Liber mensurationum" d'Abû Bekr«, Journal des savants (v francoščini in latinščini), 1968 (2): 65–124, doi:10.3406/jds.1968.1175, ISSN 1775-383X, arhivirano iz spletišča dne 12. januarja 2022, pridobljeno 12. januarja 2022 – prek Persée{{citation}}: Vzdrževanje CS1: samodejni prevod datuma (povezava)

• DeTemple, Duane W. (1992), »The Triangle of Smallest Perimeter which Circumscribes a Semicircle« (PDF), Fibonacci Quarterly, 30 (3): 274, doi:10.1080/00150517.1992.12429354, ISSN 0015-0517, MR 1175315, arhivirano (PDF) iz spletišča dne 20. januarja 2022, pridobljeno 29. januarja 2022

• Di Domenico, Angelo (Julij 2005), »89.41 The golden ratio—the right triangle—and the arithmetic, geometric, and harmonic means«, The Mathematical Gazette, 89 (515): 261, doi:10.1017/s0025557200177769, eISSN 2056-6328, ISSN 0025-5572, JSTOR 3621234, S2CID 123738769

• Fink, Karl (1903), A Brief History of Mathematics: An Authorized Translation of Dr. Karl Fink's Geschichte der Elementar-Mathematik, prevod: Beman, Wooster Woodruff; Smith, David Eugene (2. izd.), Chicago: Open Court Publishing Company, str. 258, COBISS 1537342943, OCLC 13477274 – prek Internet Archive

• Ghyka, Matila Costiescu (1946), The Geometry of Art and Life, New York: Sheed and Ward – prek Internet Archive

• Halleck, Ezra (Marec 2012), »Teaching tip: Consider a circular cow«, The College Mathematics Journal, 43 (2): 133, doi:10.4169/college.math.j.43.2.133, ISSN 0746-8342, JSTOR 10.4169/college.math.j.43.2.133, S2CID 123891402

• (Herz-)Fischler, Roger (1979), »What did Herodotus really say? or how to build (a theory of) the Great Pyramid«, Environment and Planning B: Planning and Design, 6 (1): 89–93, Bibcode:1979EnPlB...6...89F, doi:10.1068/b060089, eISSN 2399-8091, ISSN 2399-8083, S2CID 62210630

• Herz-Fischler, Roger (2000), The Shape of the Great Pyramid, Waterloo, Ontario: Wilfrid Laurier University Press, str. 293, COBISS 1537342943, ISBN 978-0-88920-324-2, MR 1788996, OCLC 41026777, OL 8212721M Celotna knjiga obravnava mnoge alternativne teorije o obliki te piramide. Za gradivo, specifično za Keplerjev trikotnik, glej 11. poglavje, »Kepler triangle theory«, str. 80–91, in str. 166 za sklep, da je teorijo Keplerjevega trikotnika mogoče izločiti z načelom, da »mora teorija ustrezati ravni matematike, ki je skladna s tem, kar so poznali stari Egipčani«. Za zgodovino Keplerjevega dela s tem trikotnikom glej opombo 3, str. 229.

• Høyrup, Jens (2002), »Review of The shape of the Great Pyramid by Roger Herz-Fischler« (PDF), Mathematical Reviews, ISSN 0025-5629, MR 1788996, arhivirano (PDF) iz spletišča dne 23. februarja 2022, pridobljeno 23. februarja 2022

• Huffman, Carl Augustus (2005), »Archytas and the history of means«, Archytas of Tarentum: Pythagorean, Philosopher and Mathematician King, Cambridge University Press, str. 170–177, ISBN 978-0-521-83746-0, pridobljeno 22. januarja 2022 – prek Google Knjige

• Hughes, Barnabas, ur. (2008), Fibonacci's De Practica Geometrie, (Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences), New York: Springer, str. 412, doi:10.1007/978-0-387-72931-2, eISSN 2196-8829, ISBN 978-0-387-72930-5, ISSN 2196-8810, LCCN 2007934985, MR 2364574, OCLC 166357939, OL 16503815M

• Kocik, Jerzy (Januar 2019). »A note on unbounded Apollonian disk packings«. arXiv:1910.05924 [math.MG].

• Livio, Mario (2002), The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number, New York: Broadway Books, str. 294, COBISS 12294745, ISBN 0-7679-0815-5, OL 8064514M – prek Google Knjige

• Markowsky, George (Januar 1992), »Misconceptions about the Golden Ratio« (PDF), The College Mathematics Journal, Ameriško matematično združenje, 23 (1): 2–19, doi:10.2307/2686193, ISSN 0746-8342, JSTOR 2686193, arhivirano (PDF) iz spletišča dne 11. decembra 2020, pridobljeno 29. junija 2012, Zdi se, da Egipčani sploh niso vedeli za obstoj $\Phi \!\,$, kaj šele, da bi ga vključili v svoje zgradbe.

• Richeson, Dave (27. april 2011), »A pyramidologist's value for pi«, divisbyzero.com (v angleščini), pridobljeno 19. decembra 2025

• Rossi, Corinna; Tout, Christopher A. (2002), »Were the Fibonacci series and the Golden Section known in ancient Egypt?«, Historia Mathematica, 29 (2): 101–113, doi:10.1006/hmat.2001.2334, hdl:11311/997099, ISSN 0315-0860, MR 1896969

• Rossi, Corinna (2004), Architecture and Mathematics in Ancient Egypt, Cambridge University Press, str. 302, doi:10.1017/CBO9780511550720, ISBN 978-0-521-82954-0, OCLC 967423039, OL 7765490M, v nobenem staroegipčanskem pisnem matematičnem viru ni neposrednih dokazov o kakršnem koli aritmetičnem izračunu ali geometrijski konstrukciji, ki bi jo lahko uvrstili med zlati rez ... konvergenca k $\Phi \!\,$ in $\Phi \!\,$ samo po sebi kot število se ne ujema z obstoječimi matematičnimi viri Srednjega kraljestva. Glej tudi obsežno razpravo o več alternativnih teorijah o obliki piramide in drugi egipčanski arhitekturi, str. 7–56.

• Taylor, John (1859), The Great Pyramid; why was it built; and who built it?, London: Green, Longman, and Roberts