Espazo topolóxico

Catro exemplos e dous anti-exemplos de topoloxías no conxunto de tres puntos {1,2,3}.
O exemplo inferior esquerdo non é unha topoloxía, pois a unión {2} e {3}, igual a {2,3}, non é parte da colección.
O exemplo inferior dereito tampouco é unha topoloxía porque a intersección de {1,2} e {2,3}, igual a {2}, non é parte da colección.

Un espazo topolóxico é unha estrutura matemática que permite a definición formal de conceptos como converxencia, conectividade e continuidade. A rama das matemáticas que estuda os espazos topolóxicos é a topoloxía.

Definición

Un espazo topolóxico é un conxunto E de elementos, que xunto con T, unha colección de subconxuntos de E, chamados abertos de E, satisfán as seguintes propiedades:

1. O conxunto baleiro e E están en T.

$\quad \varnothing \in T,E\in T$

2. A intersección de calquera colección finita de conxuntos de T está tamén en T.

$\quad (O_{1}\in T,O_{2}\in T)\Rightarrow (O_{1}\cap O_{2}\in T)$

3. A unión de toda colección de conxuntos de T está tamén en T.

$\quad (\forall i\in I,O_{i}\in T)\Rightarrow (\cup _{i\in I}O_{i}\in T)$

Esta condición tamén pode escribir:

$\quad \forall S\subset T,\cup _{O\in S}O\in T$

Os conxuntos en T son os conxuntos abertos, e os seus complementos en E, son chamados conxuntos cerrados.

A colección T é chamada topoloxía en E. Os elementos de E acostúmase chamarlles puntos, aínda que poden ser calquera obxecto matemático. Un espazo topolóxico no cal os puntos son funcións denomínase espazo funcional.

Ao conxunto E denomínase substrato do espazo topolóxico.

Un espazo topolóxico é un par $(E,\tau )\,\!$ onde $E\,\!$ é un conxunto e $\tau \,\!$ é unha topoloxía en $E\,\!$.

Exemplos

• Topoloxía trivial ou indiscreta: é a formada por $\varnothing$ e $\quad E$.
• Topoloxía discreta: é a formada polo conxunto das partes de $\quad E$.
• Topoloxía dos complementos finitos: é a formada por $\varnothing$ e os conxuntos de $\quad E$, cuxos complementarios son finitos.
• Topoloxía dos complementos numerables: é a formada por $\varnothing$ e os conxuntos de $\quad E$, cuxos complementarios son numerables.
• R, conxunto dos reais, e T, o conxunto dos intervalos abertos no sentido usual, e das reunións de intervalos abertos.
• Recta de Sorgenfrey, a recta real, xunto coa topoloxía do límite inferior.

Topoloxía usual

Dise que $\mathbb {R} ^{n}$está dotado coa topoloxía usual $\tau _{u}$ se $(\mathbb {R} ^{n},\tau _{u})$ é o espazo topolóxico xerado polas bólas abertas en $(\mathbb {R} ^{n},\tau )$, é dicir, pola unión de subconxuntos da forma $B(c,r)=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-c_{i})^{2}<r^{2}\}$, onde $c=(c_{1},\dots ,c_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ e $r$ é un real positivo. Ademais, esta topoloxía coincide coa topoloxía métrica inducida en $\mathbb {R} ^{n}$ pola distancia usual $d$ dada por $d(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$, sendo $x=(x_{1},\dots ,x_{n})$ e $y=(y_{1},\dots ,y_{n})$ elementos de $\mathbb {R} ^{n}$.