Logarytm

Dzieło Logarithmorum canonis descriptio Johna Napiera z 1620 roku, w którym podpisuje się on nazwiskiem „Neper”.

Logarytmy dlá szkół narodowych Ignacego Zaborowskiego, publikacja Towarzystwa do Ksiąg Elementarnych z 1787.

Logarytm (łac. [now.] logarithmus – stosunek, z gr. λόγ- log-, od λόγος logos – zasada, rozum, słowo, i ἀριθμός árithmós – liczba) – dla danych liczb $a,b>0,\;a\neq 1$ liczba oznaczana $\log _{a}b$ będąca rozwiązaniem równania $a^{x}=b.$ Taki logarytm został zdefiniowany przez Eulera. Liczba $a$ nazywana jest podstawą (zasadą) logarytmu, liczba $b$ liczbą logarytmowaną (niekiedy antylogarytmem swojego logarytmu, patrz: antylogarytm). Jest to więc wykładnik potęgi, do jakiej należy podnieść podstawę $a,$ aby otrzymać liczbę logarytmowaną $b$.

Przykłady

$\log _{2}8=3,$ gdyż $2^{3}=8,$

$\log _{10}10000=4,$ gdyż $10^{4}=10000.$

Logarytmy po raz pierwszy opisali w XVI wieku matematycy: Szkot John Napier i Anglik Henry Briggs. Były odpowiedzią na konieczność wykonywania żmudnych i czasochłonnych obliczeń w związku z burzliwie rozwijającymi się wówczas astronomią, nawigacją i handlem. Natomiast Euler był pierwszym matematykiem, który przedstawił logarytmy liczb zespolonych. Historycznie praca Eulera na ten temat była pierwszą analizą funkcji przestępnej więcej niż jednej zmiennej.

Pozwalały zamienić mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie na łatwiejsze odpowiednio dodawanie, odejmowanie i dzielenie przez liczbę naturalną. Tablice logarytmiczne i suwaki logarytmiczne stały się podstawową pomocą we wszelkich obliczeniach naukowych, astronomicznych, geodezyjnych i inżynierskich. Współcześnie, z powodu wyparcia ich przez kalkulatory i komputery, ich użytkowa rola jest dużo mniejsza.

Logarytm przy ustalonej podstawie $a>0,a\neq 1$ pozwala zdefiniować funkcję logarytmiczną $f_{a}\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R}$ następująco:

$f_{a}\colon x\mapsto f_{a}(x)=\log _{a}x.$

Definicja formalna

schemat działania suwaka logarytmicznego pokazujący, jak dwie skale logarytmiczne pozwalają zamienić mnożenie $2\cdot 3=6$ na dodawanie $\log 2+\log 3=\log 6$

Logarytm jest działaniem zewnętrznym: $\log \colon \;\mathbb {R} _{+}\!\!\setminus \!\!\{1\}\times \mathbb {R} _{+}\;\to \;\mathbb {R}$ zdefiniowanym równoważnością:

$\log _{a}b=c\Leftrightarrow a^{c}=b$

(zamiast $\log(a,b)$ stosuje się symbolikę $\log _{a}b$).

Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania. Z własności potęgowania wynika poprawność tak zdefiniowanego działania, tzn.

• dla każdych $a,b>0,\;a\neq 1$ istnieje liczba rzeczywista $c=\log _{a}b.$

Jest też odwrotnie:

• dla dowolnej liczby $c\in \mathbb {R}$ i dowolnej liczby $a>0,\;a\neq 1$ istnieje dokładnie jedna liczba $b>0$ taka, że $c=\log _{a}b;$
• dla dowolnej liczby $c\in \mathbb {R}$ i dowolnej liczby $b>0$ istnieje dokładnie jedna liczba $a>0,a\neq 1$ taka, że $c=\log _{a}b.$

Oznacza to, że przy ustalonym $a$ lub ustalonym $b$ działanie $\log$ jest różnowartościową suriekcją na zbiór $\mathbb {R} .$

Logarytm binarny

Logarytm o podstawie równej 2.

Logarytm naturalny

Logarytm naturalny, nazywany często logarytmem Nepera, to logarytm o podstawie oznaczanej literą $e$ równą w przybliżeniu $2{,}718281828.$ Zwyczajowo zamiast $\log _{e}x$ pisze się $\ln x.$ Wybór za podstawę tej szczególnej liczby podyktowany jest definicją funkcji wykładniczej $\exp ,$ dla której $\exp(1)=e,$ postaci

$\exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},$

wtedy jej pochodna (również formalna) $(\exp x)'=\exp x,$ co oznacza, że $(\ln x)'={\tfrac {1}{x}}$ zamiast $(\log _{a}x)'={\tfrac {1}{x\ln a}},$ ponieważ $\ln e=1.$ W pewnym sensie logarytm naturalny jest więc rzeczywiście bardziej „naturalny” spośród logarytmów. Podstawa logarytmu naturalnego $e$ jest liczbą przestępną i jedną z najważniejszych stałych matematycznych.

Logarytm dziesiętny

Zapis bez indeksu $\log x$ albo $\lg \;x$ oznacza zwykle logarytm dziesiętny (Briggsa), czyli mający u swej podstawy liczbę 10:

$\log x=\lg x=\log _{10}x.$

Konwencja ta jednak bywa myląca, gdyż niektórzy oznaczają tym symbolem logarytm naturalny. W szczególności $\log(x)$ oznacza logarytm naturalny w niektórych językach programowania, choć np. w polskiej wersji Microsoft Excela ten sam symbol oznacza logarytm dziesiętny.

Istnieje pewna zależność wartości logarytmu liczby od liczby cyfr przed przecinkiem potrzebnych do jej zapisania: Dla dowolnej liczby $x>1\land x\neg 1*10^{n},n\in \mathbb {N}$ jej logarytm dziesiętny zaokrąglony w górę (sufit) jest równy minimalnej liczbie cyfr przed przecinkiem w zapisie dziesiętnym $x,$ np.

$\log 5083495{,}424=6{,}7061624.$

Po zaokrągleniu w górę uzyskujemy 7 i rzeczywiście zapis liczby 5083495,424 wymaga 7 miejsc dziesiętnych przed przecinkiem. Trzeba jednak pamiętać o poniższych wartościach:

$\log 1=0,\,\log 10=1,\,\log 100=2,\dots$

Analogicznie dla dowolnego systemu pozycyjnego o podstawie $b,$ należy użyć logarytmu o podstawie $b.$

Własności

Jeśli $a,b,c,x,y\in \mathbb {R}$, przy czym:

• $a>0,\quad a\neq 1$,
• $b>0,\quad c>0,\quad x>0,\quad y>0$,

to dla logarytmów zachodzą następujące własności:

Wzory redukcyjne

• $\log _{a}(1)=0$
• $\log _{a}(a)=1$
• $\log _{a}(a^{x})=x$
• $\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$
• $\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$
• $\log _{a}(x^{b})=b\log _{a}(x)$
• $\log _{a}\!\left({\sqrt[{b}]{x^{c}}}\right)={\frac {c}{b}}\log _{a}(x)$
• $\log _{a}(x)=-\log _{a}({\frac {1}{x}})$
• $\log _{a}(b)\cdot log_{b}(c)=\log _{a}(c)$
• $\log _{a}\!\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\log _{a}(x_{i})$

Dowody

• Z definicji logarytmu:

  $a^{0}=1$.

  Zatem:

  $\log _{a}(1)=0$, q.e.d.

• Z definicji logarytmu:

  $a^{1}=a$.

  Zatem:

  $\log _{a}(a)=1$, q.e.d.

• Niech:

  $y=a^{x}$.

  Wówczas:

  $\log _{a}(y)=x$.

  Zatem:

  $\log _{a}(a^{x})=x$, q.e.d.

• Niech:

  $\log _{a}(x)=m,\quad \log _{a}(y)=n$.

  Wówczas:

  $x=a^{m},\quad y=a^{n}$.

  Zatem:

  $xy=a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$.

  Po zastosowaniu logarytmu:

  $\log _{a}(xy)=m+n$.

  A więc:

  $\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$, q.e.d.

• Niech:

  $\log _{a}(x)=m,\quad \log _{a}(y)=n$.

  Wówczas:

  $x=a^{m},\quad y=a^{n}$.

  Zatem:

  ${\frac {x}{y}}=a^{m-n}$.

  Po zastosowaniu logarytmu:

  $\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=m-n$.

  A więc:

  $\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$, q.e.d.

• Niech:

  $\log _{a}(x)=m$.

  Wówczas:

  $x=a^{m}$.

  Zatem:

  $x^{b}=(a^{m})^{b}=a^{mb}$.

  Po zastosowaniu logarytmu:

  $\log _{a}(x^{b})=mb$.

  A więc:

  $\log _{a}(x^{b})=b\log _{a}(x)$, q.e.d.

• Korzystając z własności potęgowania i pierwiastkowania:

  ${\sqrt[{b}]{x^{c}}}=x^{\frac {c}{b}}$. Zatem:

  $\log _{a}\!\left({\sqrt[{b}]{x^{c}}}\right)=\log _{a}\!\left(x^{\frac {c}{b}}\right)$.

  Z własności logarytmu potęgi:

  $\log _{a}\!\left({\sqrt[{b}]{x^{c}}}\right)={\frac {c}{b}}\log _{a}(x)$, q.e.d.

• Korzystając z własności $\log _{a}(x^{b})=b\log _{a}(x)$:

  $\log _{a}(x^{-1})=-1\log _{a}(x)$.

  Zatem:

  $\log _{a}(x)=-\log _{a}({\frac {1}{x}})$, q.e.d.

• Niech:

  $y=\log _{b}(c)\iff b^{y}=c$.

  Wówczas:

  $b^{\log _{b}(c)}=c$.

  Po zastosowaniu logarytmu:

  $log_{a}(b^{\log _{b}(c)})=log_{a}(c)$.

  A więc:

  $\log _{a}(b)\cdot log_{b}(c)=\log _{a}(c)$, q.e.d.

• Niech:

  $\log _{a}(x_{i})=m_{i}$ dla $i=1,2,\dots ,n$. Wówczas:

  $x_{i}=a^{m_{i}}$.

  Zatem:

  $\prod _{i=1}^{n}x_{i}=\prod _{i=1}^{n}a^{m_{i}}=a^{\sum _{i=1}^{n}m_{i}}$.

  Po zastosowaniu logarytmu:

  $\log _{a}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}$.

  A więc:

  $\log _{a}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\log _{a}(x_{i})$, q.e.d.

Funkcja odwrotna

$a^{\log _{a}(x)}=x$

Dowód

Z definicji logarytmu:

$y=\log _{a}(x)\iff a^{y}=x$.

Stąd:

$a^{\log _{a}(x)}=x$, q.e.d.

Zamiana podstawy logarytmu

$\log _{a}(b)={\frac {\log _{c}(b)}{\log _{c}(a)}}$

Dowód

Niech:

$y=\log _{a}(c)\iff a^{y}=c$.

Wówczas:

$a^{\log _{a}(c)}=c$.

Po zastosowaniu logarytmu:

$log_{b}(a^{\log _{a}(c)})=log_{b}(c)$.

Zatem:

$\log _{b}(a)\cdot log_{a}(c)=\log _{a}(c)$

A więc:

$\log _{a}(b)={\frac {\log _{c}(b)}{\log _{c}(a)}}$, q.e.d.

Monotoniczność i znak

$\log _{a}{x}$	Znak			Monotoniczność	Wykres
	$0<x<1$	$x=1$	$1<x$
$0<a<1$	$+$	$0$	$-$	$x_{1}<x_{2}\Rightarrow \log _{a}(x_{1})>\log _{a}(x_{2})$
$1<a$	$-$	$0$	$+$	$x_{1}<x_{2}\Rightarrow \log _{a}(x_{1})<\log _{a}(x_{2})$

Dowód

Rozważmy funkcję $\log _{a}(x)$ i jej związek z funkcją wykładniczą $a^{x}$, która jest do niej odwrotna.

1. Monotoniczność:
   • Dla $0<a<1$:

   Funkcja wykładnicza $a^{x}$ jest malejąca.

   Niech:

   $x_{1}<x_{2}$.

   Oznaczmy:

   $\log _{a}(x_{1})=u,\quad \log _{a}(x_{2})=v$

   Wtedy:

   $x_{1}=a^{u},\quad x_{2}=a^{v}$

   Z nierówności $x_{1}<x_{2}$ mamy:

   $a^{u}<a^{v}$

   Ponieważ $a^{x}$ jest malejąca, wynika:

   $u>v$

   czyli:

   $\log _{a}(x_{1})>\log _{a}(x_{2})$

   Zatem funkcja jest malejąca.

   • Dla $a>1$:

   Funkcja wykładnicza $a^{x}$ jest rosnąca.

   Niech:

   $x_{1}<x_{2}$

   Oznaczmy:

   $\log _{a}(x_{1})=u,\quad \log _{a}(x_{2})=v$

   Wtedy:

   $x_{1}=a^{u},\quad x_{2}=a^{v}$

   Z nierówności $x_{1}<x_{2}$ mamy:

   $a^{u}<a^{v}$

   Ponieważ $a^{x}$ jest rosnąca, wynika:

   $u<v$

   czyli:

   $\log _{a}(x_{1})<\log _{a}(x_{2})$

   Zatem funkcja jest rosnąca.

2. Znak:
   • Dla $0<a<1$:

   $\log _{a}(x)=0$ dla $x=1$, a ponieważ funkcja jest malejąca:

   $0<x<1\Rightarrow \log _{a}(x)>0$ oraz $x>1\Rightarrow \log _{a}(x)<0$

   • Dla $1<a$:

   $\log _{a}(x)=0$ dla $x=1$, a ponieważ funkcja jest rosnąca:

   $0<x<1\Rightarrow \log _{a}(x)<0$ oraz $x>1\Rightarrow \log _{a}(x)>0$.

Wniosek można przedstawić: ${\begin{cases}0<a<1:\ {\begin{cases}0<x<1\Rightarrow \log _{a}(x)>0\\x=1\Rightarrow \log _{a}(x)=0\\x>1\Rightarrow \log _{a}(x)<0\\x_{1}<x_{2}\Rightarrow \log _{a}(x_{1})>\log _{a}(x_{2})\end{cases}}\\[6pt]a>1:\ {\begin{cases}0<x<1\Rightarrow \log _{a}(x)<0\\x=1\Rightarrow \log _{a}(x)=0\\x>1\Rightarrow \log _{a}(x)>0\\x_{1}<x_{2}\Rightarrow \log _{a}(x_{1})<\log _{a}(x_{2})\end{cases}}\end{cases}}$, q.e.d.

Logarytm liczby zespolonej

Logarytm można uogólnić na liczby zespolone, co pozwala obliczać go także dla ujemnych liczb rzeczywistych. Niech $z$ będzie różną od zera liczbą zespoloną. Wtedy:

$\ln z=\ln \left(|z|\cdot e^{i\cdot \arg z}\right)=\ln |z|+i\arg z=\ln |z|+i(\phi +2k\pi ),$

(1)

gdzie:

• $k$ jest dowolną liczbą całkowitą,
• $\ln |z|$ jest zwykłym logarytmem naturalnym z modułu liczby $z$ (moduł liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą),
• $\arg$ to argument liczby zespolonej $z,$
• $\phi$ to argument główny.

W szczególności dla liczb zespolonych:

$\ln 1=2k\pi i,$

$\ln(-1)=(2k+1)\pi i,$

$\ln i={\frac {4k+1}{2}}\pi i.$

Logarytm zespolony nie jest jednoznacznie określony, gdyż daje różne wartości dla różnych $k.$ Przyjmując $k=0$ otrzymujemy tzw. wartość główną logarytmu. Niektórzy autorzy oznaczają ją dla odróżnienia dużą literą: $\operatorname {Ln} .$ Inni przeciwnie – wielką literą oznaczają ogólną postać logarytmu, a małą wartość główną. Jeszcze inni obydwie wersje oznaczają tym samym symbolem pisanym małą literą.

Logarytm o podstawie zespolonej można sprowadzić do logarytmu naturalnego stosując wzór na zmianę podstawy:

$\log _{w}z={\frac {\ln z}{\ln w}},$

gdzie:

• $w$ i $z$ są liczbami zespolonymi, $z,w\neq 0,\;w\neq 1$
• $\ln z$ i $\ln w$ są dane wzorem (1).

Oczywiście zbiór wartości $\log _{w}z$ jest podwójnie indeksowany.

Kologarytm

Liczbę przeciwną do logarytmu z $x$ nazywało się niegdyś kologarytmem $x$ i oznaczało $\operatorname {clg} x$ lub $\operatorname {colog} x.$ Dzisiaj pojęcie to odchodzi w zapomnienie i pisze się po prostu $-\log x.$ Wyrażenie to używane jest do tej pory m.in. w chemii przy określaniu skali kwasowości.

Logarytm dyskretny

Logarytm dyskretny elementu $b$ (przy podstawie $a$) w danej grupie skończonej jest to taka liczba całkowita $c,$ że w grupie zachodzi równość (stosując notację multiplikatywną dla działania grupowego):

$a^{c}=b.$

Przykłady i zastosowania

Matematyka

• Skala logarytmiczna na wykresach – czasami rozpiętość przedstawianych wielkości jest tak duża, że nie wystarczy podziałka liniowa; por. Diagram HR w astronomii.
• Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej. Dlatego przydaje się wszędzie tam, gdzie rozwiązuje się równanie wykładnicze – np. do przewidzenia liczby rat kredytu albo czasu, kiedy rozpad promieniotwórczy doprowadzi do danego stężenia pierwiastka.
• Regresja liniowa: jeśli oczekiwana zależność między danymi jest potęgowa lub wykładnicza, to analizuje się liniową zależność między ich logarytmami.
• Prawo iterowanego logarytmu w probabilistyce,
• Wymiar Hausdorffa fraktali w topologii i teorii miary,
• Asymptotyczne wzrost funkcji pi w teorii liczb,
• W teorii informacji Claude Shannon wyraził entropię informacji przez logarytmy odpowiednich prawdopodobieństw.
• Algorytmika: wiele procedur ma złożoność logarytmiczną (np. wyszukiwanie binarne) lub liniowo-logarytmiczną, np. wiele algorytmów sortowania,
• Opis spirali logarytmicznej występującej w naturze,

Inne dziedziny

• Skala pH w chemii,
• skala Richtera w sejsmologii,
• Poziom natężenia dźwięku jest logarytmiczną funkcją natężenia dźwięku,
• Wysokość dźwięku jest logarytmiczną funkcją jego częstotliwości,
• Prawo Webera-Fechnera w psychologii i fizjologii percepcji,
• Prawo Fittsa w ergonomii,
• Jasność absolutna w astronomii,
• Logarytmiczny dekrement tłumienia w fizyce, np. w akustyce oraz w elektrotechnice,
• W fizyce statystycznej Ludwig Boltzmann wyraził entropię przez logarytm objętości w przestrzeni fazowej. Uogólnił w ten sposób makroskopową definicję entropii Clausiusa,
• Rozkład Benforda w statystyce i ekonomii,
• Wzór Ciołkowskiego opisujący ruch rakiety.

Bibliografia

• Bogdan Miś: Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1989. ISBN 978-83-204-3364-7.
• Hans Niels Jahnke: A history of analysis. Providence, RI: American Mathematical Society, 2003. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.

Linki zewnętrzne

• AdamA. Kolany AdamA., Logarytm – logika i rytm?, „Delta”, sierpień 2015, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-03] .
• Logarithm of a number (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
• Steve Kelly, Logarithms, Explained (ang.), kanał TED-Ed na YouTube, 20 sierpnia 2012 [dostęp 2024-08-22].