Teoria dos jogos

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Teoria dos jogos ou teoria de jogos é o estudo matemático de situações de interação estratégica, nas quais o resultado obtido por cada participante depende não apenas de suas próprias escolhas, mas também das escolhas feitas pelos demais participantes. A disciplina modela essas situações por meio de conceitos como jogador, estratégia, preferência, função de utilidade, informação e equilíbrio, permitindo analisar conflitos, cooperação, coordenação e processos de decisão interdependente.

Embora tenha se consolidado como ramo da matemática aplicada e da economia, a teoria dos jogos é utilizada em diversas áreas, incluindo ciência política, biologia evolutiva, filosofia, ciência da computação, lógica, administração, relações internacionais e neuroeconomia. Seu objetivo não é apenas descrever jogos recreativos, mas representar formalmente situações nas quais agentes racionais, limitadamente racionais ou evolutivos ajustam suas escolhas em função das escolhas esperadas dos demais.

A teoria moderna dos jogos foi consolidada no século XX, especialmente a partir do teorema minimax de John von Neumann e da publicação de Theory of Games and Economic Behavior, de von Neumann e Oskar Morgenstern, em 1944. Na década de 1950, John Forbes Nash generalizou a análise estratégica para jogos não cooperativos, formulando o conceito de equilíbrio de Nash, que se tornou um dos principais conceitos de solução da disciplina.

História

A análise formal de situações estratégicas tem antecedentes anteriores à teoria dos jogos moderna. Um dos exemplos mais antigos costuma ser associado a uma carta de James Waldegrave, de 1713, na qual foi proposta uma solução de estratégia mista para uma versão de duas pessoas do jogo Le Her. No século XIX, Antoine Augustin Cournot analisou problemas de competição entre empresas em Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses, publicado em 1838, antecipando formas de raciocínio estratégico que seriam posteriormente incorporadas à teoria dos jogos.

No início do século XX, Émile Borel investigou jogos de soma zero e estratégias mistas, mas a formulação decisiva veio com John von Neumann, que demonstrou em 1928 o teorema minimax para jogos finitos de duas pessoas e soma zero. A consolidação do campo ocorreu com a publicação, em 1944, de Theory of Games and Economic Behavior, obra de von Neumann e Oskar Morgenstern que apresentou uma estrutura matemática para analisar decisões econômicas e sociais como jogos de estratégia.

A partir de 1950, John Forbes Nash ampliou o escopo da disciplina ao formular o equilíbrio de Nash, aplicável a jogos não cooperativos com vários jogadores. Em um equilíbrio de Nash, cada jogador escolhe uma estratégia que constitui a melhor resposta às estratégias dos demais; portanto, nenhum jogador tem incentivo a se desviar unilateralmente, dadas as escolhas dos outros. Esse conceito permitiu tratar jogos de soma diferente de zero e situações nas quais os interesses dos participantes podem ser parcialmente conflitantes e parcialmente convergentes.

Durante as décadas de 1950 e 1960, o campo se expandiu rapidamente. Foram desenvolvidos conceitos como jogo repetido, jogo na forma extensiva, valor de Shapley, equilíbrio perfeito em subjogos e modelos de informação incompleta. Reinhard Selten refinou o equilíbrio de Nash para jogos dinâmicos por meio do equilíbrio perfeito em subjogos, enquanto John Harsanyi desenvolveu ferramentas para tratar jogos com informação incompleta e crenças probabilísticas.

Em 1994, Nash, Harsanyi e Selten receberam o Prêmio de Ciências Econômicas em Memória de Alfred Nobel por suas contribuições à análise de equilíbrios em jogos não cooperativos. Em 2005, Robert Aumann e Thomas Schelling receberam o mesmo prêmio por seus trabalhos sobre conflito e cooperação, incluindo jogos repetidos, conhecimento comum, dissuasão, compromisso estratégico e coordenação.

Elementos básicos

Um jogo, no sentido matemático, é uma representação formal de uma situação estratégica. A estrutura mínima de um jogo normalmente envolve: um conjunto de jogadores; um conjunto de estratégias ou ações disponíveis para cada jogador; uma regra que associa combinações de estratégias a resultados; e uma função que representa as preferências, pagamentos ou utilidades dos jogadores em relação a esses resultados.

A interpretação dos jogadores depende do contexto. Em economia, podem ser consumidores, empresas, sindicatos, reguladores ou governos. Em ciência política, podem ser partidos, eleitores, Estados ou coalizões. Em biologia evolutiva, podem representar organismos, fenótipos, genes ou estratégias comportamentais. Em ciência da computação, podem ser agentes computacionais, usuários de redes, algoritmos ou participantes de mercados digitais.

O conceito de estratégia varia conforme o tipo de jogo. Em jogos simultâneos simples, uma estratégia pode ser apenas uma ação escolhida por um jogador. Em jogos sequenciais, uma estratégia completa especifica o que o jogador fará em cada ponto de decisão em que possa ser chamado a agir, mesmo em situações que talvez não ocorram no desenvolvimento efetivo do jogo.

Representação dos jogos

Ver artigo principal: Lista de jogos na teoria dos jogos

Os jogos podem ser representados de diferentes maneiras. As duas formas mais comuns são a forma normal, adequada para muitos jogos simultâneos, e a forma extensiva, adequada para jogos em que a ordem das decisões, a informação disponível e os pontos de decisão são relevantes.

Forma normal

Ver artigo principal: Forma normal (teoria dos jogos)

A forma normal representa um jogo por meio de uma matriz que relaciona as estratégias dos jogadores aos pagamentos resultantes. Em um jogo de dois jogadores, as linhas costumam representar as estratégias de um jogador, as colunas representam as estratégias do outro, e cada célula contém os pagamentos associados à combinação escolhida.

Exemplo de jogo na forma normal

	Jogador 2: esquerda	Jogador 2: direita
Jogador 1: cima	4, 3	−1, −1
Jogador 1: baixo	0, 0	3, 4

No exemplo, se o jogador 1 escolhe "cima" e o jogador 2 escolhe "esquerda", os pagamentos são 4 para o jogador 1 e 3 para o jogador 2. A forma normal é especialmente útil para jogos simultâneos ou para situações nas quais cada jogador escolhe sem conhecer previamente a ação efetivamente adotada pelos demais.

Forma extensiva

Ver artigo principal: Forma extensiva

Exemplo de jogo na forma extensiva

A forma extensiva representa o jogo como uma árvore de decisão. Cada nó indica um ponto em que algum jogador deve agir; cada ramo representa uma ação possível; e os nós terminais indicam os pagamentos finais. Essa representação permite mostrar a ordem das decisões, as possibilidades de observação e os conjuntos de informação disponíveis a cada jogador.

Em jogos de informação perfeita, cada jogador conhece todas as ações anteriores quando chega sua vez de decidir. Em jogos de informação imperfeita, algum jogador pode não saber exatamente em qual ponto da árvore se encontra, ainda que conheça a estrutura geral do jogo.

Conceitos de solução

Um conceito de solução é uma regra ou critério usado para identificar quais resultados ou perfis de estratégias são plausíveis, estáveis ou racionalmente justificáveis em determinado jogo. Diferentes conceitos de solução refletem diferentes pressupostos sobre racionalidade, informação, cooperação, repetição e formação de crenças.

Dominância e melhor resposta

Uma estratégia é dita dominante quando produz resultado pelo menos tão bom quanto as demais estratégias disponíveis, independentemente das escolhas dos outros jogadores. Uma estratégia estritamente dominante produz resultado melhor em todos os casos relevantes. Já uma melhor resposta é uma estratégia ótima apenas em relação a uma crença ou a um conjunto específico de estratégias adotadas pelos demais jogadores.

Equilíbrio de Nash

Ver artigo principal: Equilíbrio de Nash

O equilíbrio de Nash é um perfil de estratégias no qual cada estratégia é uma melhor resposta às demais. Nesse caso, nenhum jogador consegue melhorar seu próprio pagamento mudando unilateralmente de estratégia, dado que os outros jogadores mantêm suas escolhas. O conceito tornou-se central na teoria dos jogos porque permite analisar situações em que não existe coordenação explícita entre os participantes, mas cada um leva em conta o comportamento esperado dos outros.

O equilíbrio de Nash não implica necessariamente que o resultado seja socialmente ótimo. O dilema do prisioneiro, por exemplo, mostra uma situação em que a busca individual por melhores respostas pode levar a um resultado pior para todos os jogadores do que aquele que seria obtido por cooperação.

Minimax

Ver artigo principal: Teorema minimax

O critério minimax está associado principalmente a jogos de soma zero entre dois jogadores. Nesse tipo de jogo, um jogador escolhe uma estratégia que maximiza o pagamento mínimo que pode garantir para si, considerando a melhor resposta adversária. O teorema minimax de von Neumann demonstrou a existência de solução em estratégias mistas para jogos finitos de duas pessoas e soma zero.

Equilíbrio perfeito em subjogos

O equilíbrio perfeito em subjogos é um refinamento do equilíbrio de Nash para jogos dinâmicos. Ele exige que as estratégias constituam um equilíbrio de Nash não apenas no jogo como um todo, mas também em cada subjogo relevante. Esse refinamento evita equilíbrios sustentados por ameaças não críveis, isto é, ameaças que não seriam racionalmente executadas caso o ponto de decisão fosse efetivamente alcançado.

Equilíbrio correlato

O equilíbrio correlato, desenvolvido por Robert Aumann, permite que os jogadores condicionem suas ações a sinais correlacionados emitidos por algum mecanismo comum. Diferentemente do equilíbrio de Nash em estratégias mistas independentes, o equilíbrio correlato admite correlação entre as recomendações recebidas pelos jogadores, o que pode ampliar o conjunto de resultados sustentáveis em equilíbrio.

Valor de Shapley

Ver artigo principal: Valor de Shapley

O valor de Shapley é um conceito de solução da teoria dos jogos cooperativos. Ele busca distribuir entre os jogadores o valor produzido por uma coalizão de acordo com a contribuição marginal esperada de cada participante em diferentes ordens possíveis de formação da coalizão. O conceito é utilizado em economia, escolha coletiva, teoria de coalizões e, em aplicações recentes, em métodos de explicabilidade de modelos de aprendizagem de máquina.

Tipos de jogos

Jogos cooperativos e não cooperativos

Em jogos não cooperativos, cada jogador escolhe suas estratégias individualmente, sem que acordos vinculantes entre os participantes sejam parte central do modelo. A análise concentra-se em estratégias, crenças, melhores respostas e equilíbrios. Em jogos cooperativos, a ênfase recai sobre coalizões, acordos, divisão de ganhos e estabilidade de arranjos coletivos.

A distinção não significa que jogos não cooperativos excluam cooperação no sentido cotidiano. A cooperação pode surgir em jogos não cooperativos, especialmente em jogos repetidos, quando incentivos de longo prazo tornam vantajoso preservar reputação, reciprocidade ou punições futuras.

Jogos de soma zero e soma diferente de zero

Em jogos de soma zero, o ganho de um jogador corresponde exatamente à perda dos demais, de modo que a soma dos pagamentos é constante, frequentemente igual a zero. Muitos jogos competitivos abstratos podem ser modelados dessa forma. Em jogos de soma diferente de zero, os interesses dos jogadores podem ser parcialmente compatíveis, e há resultados em que todos ganham ou todos perdem em comparação com outras alternativas.

O dilema do prisioneiro é um exemplo clássico de jogo de soma diferente de zero: a cooperação mútua pode ser melhor para ambos os jogadores do que a não cooperação mútua, mas os incentivos individuais podem levar a um resultado inferior do ponto de vista coletivo.

Jogos simultâneos e sequenciais

Jogos simultâneos são aqueles em que os jogadores escolhem suas ações ao mesmo tempo, ou sem conhecer previamente a ação escolhida pelos demais. Jogos sequenciais são aqueles em que as decisões ocorrem em uma ordem determinada e algum jogador pode observar decisões anteriores antes de agir.

A forma normal costuma ser usada para representar jogos simultâneos. A forma extensiva é mais adequada para jogos sequenciais, pois explicita a ordem dos movimentos e as informações disponíveis ao longo do jogo.

Informação perfeita, imperfeita, completa e incompleta

Um jogo tem informação perfeita quando todos os jogadores, em cada ponto de decisão, conhecem todas as ações realizadas anteriormente. Jogos como xadrez e go são exemplos tradicionais de jogos de informação perfeita, desconsiderando limites práticos de cálculo dos jogadores.

Informação perfeita não deve ser confundida com informação completa. Um jogo tem informação completa quando todos os jogadores conhecem a estrutura do jogo, incluindo estratégias disponíveis e funções de pagamento. Um jogo pode ter informação imperfeita, mas completa, se os jogadores conhecem os pagamentos e regras, mas não observam algumas ações. Em jogos de informação incompleta, algum jogador desconhece características relevantes do jogo, como preferências, tipos ou pagamentos de outro jogador.

Jogos finitos, infinitos e repetidos

Jogos finitos têm número finito de jogadores, estratégias ou estágios. Jogos infinitos podem envolver número infinito de movimentos, estratégias ou horizontes temporais. Jogos repetidos são aqueles em que uma mesma interação estratégica ocorre várias vezes, permitindo que reputação, punição, reciprocidade e aprendizado alterem os incentivos dos participantes.

A repetição pode transformar resultados estratégicos. Em um dilema do prisioneiro jogado uma única vez, a não cooperação pode ser a estratégia dominante. Em versões repetidas, estratégias condicionais, como reciprocidade e punições futuras, podem sustentar cooperação em equilíbrio sob certas condições.

Aplicações

Economia e negócios

A teoria dos jogos tornou-se uma das principais ferramentas da microeconomia moderna. Ela é usada para analisar oligopólios, leilões, barganha, formação de preços, entrada em mercados, regulação, desenho de mecanismos, contratos, reputação, competição entre empresas e interação estratégica entre agentes econômicos.

Em organização industrial, modelos de jogos ajudam a estudar como empresas reagem a concorrentes, como escolhem preços ou quantidades, como investem em capacidade produtiva e como podem usar compromissos estratégicos. Em teoria dos leilões e desenho de mecanismos, a disciplina permite analisar regras que induzem participantes a revelar informação privada ou a agir de maneira compatível com determinados objetivos institucionais.

Ciência política e relações internacionais

Na ciência política, a teoria dos jogos é empregada no estudo de eleições, coalizões legislativas, comportamento partidário, votação estratégica, negociação institucional, conflitos distributivos e ação coletiva. Em relações internacionais, é usada para modelar dissuasão, corrida armamentista, cooperação entre Estados, tratados, sanções, barganha e crises militares.

O trabalho de Thomas Schelling influenciou especialmente a análise de compromisso, ameaça, credibilidade e coordenação em situações de conflito. Em vez de tratar a força apenas como capacidade material, Schelling analisou como comunicação, reputação, pontos focais e compromissos podem alterar os resultados de uma interação estratégica.

Biologia evolutiva

Na biologia evolutiva, os pagamentos de um jogo podem ser interpretados como medidas de sucesso reprodutivo ou aptidão biológica. Essa abordagem não exige que os organismos sejam racionalmente conscientes das estratégias; basta que determinados comportamentos sejam favorecidos ou eliminados por processos evolutivos.

A teoria dos jogos evolutiva foi impulsionada por John Maynard Smith e George R. Price, especialmente com o artigo "The Logic of Animal Conflict", publicado em 1973, que aplicou modelos estratégicos ao comportamento animal e introduziu o conceito de estratégia evolucionariamente estável em ampla circulação.

Uma estratégia evolucionariamente estável é uma estratégia que, quando adotada por uma população, não pode ser invadida por uma estratégia alternativa rara, dadas certas condições. O conceito foi aplicado ao estudo de conflitos animais, territorialidade, proporção entre sexos, comunicação, cooperação, altruísmo recíproco e evolução de normas sociais.

Ciência da computação e lógica

Na ciência da computação, a teoria dos jogos é usada para estudar sistemas com múltiplos agentes, mercados digitais, redes, protocolos, segurança, alocação de recursos, leilões computacionais e desenho de mecanismos algorítmicos. A teoria algorítmica dos jogos combina métodos da teoria dos jogos, economia e ciência da computação teórica para analisar tanto os incentivos dos participantes quanto a complexidade computacional de calcular equilíbrios e mecanismos.

Na lógica, jogos são usados em semântica formal, teoria da prova, verificação e modelos de interação entre agentes. Em alguns contextos, jogos servem para interpretar validade, verdade, estratégia vencedora e interação entre demonstrador e refutador.

Filosofia e ética

A teoria dos jogos também tem aplicações em filosofia, especialmente em ética, filosofia política, filosofia da linguagem e teoria da convenção. David Lewis, em Convention, usou jogos de coordenação para explicar como convenções podem surgir quando diferentes agentes têm interesse comum em coordenar suas ações, mas há mais de uma maneira possível de fazê-lo.

Na ética, jogos como o dilema do prisioneiro e a caça ao veado são usados para discutir cooperação, racionalidade, contrato social, confiança, reciprocidade e conflito entre interesse individual e interesse coletivo.

Teoria dos jogos comportamental e experimental

A teoria dos jogos comportamental investiga como pessoas reais se comportam em situações estratégicas, comparando resultados experimentais com previsões de modelos baseados em racionalidade plena. Experimentos com jogos como o dilema do prisioneiro, o jogo do ultimato, o jogo do ditador, jogos de confiança e jogos de bens públicos mostraram que decisões humanas podem ser influenciadas por reciprocidade, aversão à desigualdade, normas sociais, aprendizado, emoções e racionalidade limitada.

Experimentos econômicos costumam empregar incentivos monetários, anonimato, randomização e instruções padronizadas para reduzir vieses e testar hipóteses específicas sobre comportamento estratégico. Ainda assim, os resultados dependem de fatores como desenho experimental, cultura, experiência prévia, tamanho dos pagamentos, repetição do jogo e forma de apresentação das escolhas.

Neuroeconomia

A neuroeconomia combina economia, psicologia, neurociência e teoria dos jogos para estudar os processos neurais associados à tomada de decisão estratégica. Estudos com jogos econômicos investigaram, por exemplo, a relação entre decisões de cooperação, punição, confiança, rejeição de ofertas injustas e atividade em regiões cerebrais associadas a cognição social, recompensa, conflito e emoção.

No jogo do ultimato, estudos de neuroimagem sugeriram que a rejeição de ofertas percebidas como injustas envolve conflito entre ganhos monetários e respostas emocionais ou normativas. Outros estudos examinaram a punição altruística e a disposição de indivíduos para incorrer em custos a fim de punir violações de normas sociais.

Limitações e debates

A teoria dos jogos depende de pressupostos formais que nem sempre se verificam em situações reais. Modelos podem exigir conhecimento comum da estrutura do jogo, preferências bem definidas, capacidade de cálculo, crenças consistentes e comportamento racional. Em muitos contextos, essas condições são apenas aproximações.

Outra limitação é a multiplicidade de equilíbrios. Um mesmo jogo pode ter mais de um equilíbrio de Nash, o que torna necessário explicar como os jogadores selecionariam um deles. Em outros casos, o equilíbrio previsto pelo modelo pode não coincidir com o comportamento observado em experimentos ou situações históricas.

Além disso, a escolha dos pagamentos e da estrutura do jogo é parte essencial da modelagem. Diferentes maneiras de representar preferências, informação, tempo, normas sociais ou possibilidade de comunicação podem produzir conclusões distintas. Por isso, a teoria dos jogos é mais útil quando seus pressupostos são explicitados e quando os resultados são interpretados como consequências de um modelo, não como previsões automáticas de comportamento real.

Ver também

• Caça ao veado
• Dilema do prisioneiro
• Equilíbrio de Nash
• Estratégia dominante
• Estratégia evolucionariamente estável
• Forma extensiva
• Forma normal (teoria dos jogos)
• Informação perfeita
• Jogo cooperativo
• Jogo de soma zero
• Racionalidade
• Teoria da decisão
• Teoria dos jogos combinatória
• Valor de Shapley

Bibliografia

• Aumann, Robert J.; Hart, Sergiu, eds. Handbook of Game Theory with Economic Applications. Amsterdam: Elsevier, 1992–2002.
• Camerer, Colin F. Behavioral Game Theory: Experiments in Strategic Interaction. Princeton: Princeton University Press, 2003. ISBN 978-0-691-09039-9.
• Fudenberg, Drew; Tirole, Jean. Game Theory. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1991. ISBN 978-0-262-06141-4.
• Gibbons, Robert. Game Theory for Applied Economists. Princeton: Princeton University Press, 1992. ISBN 978-0-691-00395-5.
• Luce, R. Duncan; Raiffa, Howard. Games and Decisions: Introduction and Critical Survey. New York: Wiley, 1957.
• Maynard Smith, John. Evolution and the Theory of Games. Cambridge: Cambridge University Press, 1982. ISBN 978-0-521-28884-2.
• Myerson, Roger B. Game Theory: Analysis of Conflict. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press, 1991. ISBN 978-0-674-34116-6.
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• Osborne, Martin J.; Rubinstein, Ariel. A Course in Game Theory. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1994. ISBN 978-0-262-65040-3.
• Rasmusen, Eric. Games and Information: An Introduction to Game Theory. 4.ª ed. Malden: Blackwell, 2006. ISBN 978-1-4051-3666-2.
• Von Neumann, John; Morgenstern, Oskar. Theory of Games and Economic Behavior. Princeton: Princeton University Press, 1944.

Ligações externas

• «Game Theory» (em inglês) , verbete da Stanford Encyclopedia of Philosophy
• «Game theory» (em inglês) , verbete da Encyclopaedia Britannica
• «Game Theory Society» (em inglês)