Akillestal

Akillestal är ett tal som är potensrikt men som inte är perfekt potens. Ett positivt heltal n är potensrikt om, för varje primtalsfaktor p av n, p² är en delare. Med andra ord har varje primfaktor minst en kvadrat i faktorisering. Alla Akillestal är potensrika, men alla potensrika tal är inte Akillestal: endast de som inte kan representeras som m^k, där m och k är positiva heltal större än 1.

Akillestal är uppkallade efter Akilles, en hjälte i trojanska kriget, som var kraftfull (från engelskans powerful som är detsamma som potensrik) men imperfekt.

Talföljd av Akillestal

Ett tal n = p₁^a₁p₂^a₂…p_k^a_k är potensrikt om min(a₁, a₂, …, a_k) ≥ 2. Om därutöver gcd(a₁, a₂, …, a_k) = 1 så är det ett Akillestal.

De första Akillestalen är:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000, 5292, 5324, 5400, 5408, 5488 … (talföljd A052486 i OEIS)

De minsta två på varandra följande Akillestalen är:

5425069447 = 7³ × 41² × 97²

5425069448 = 2³ × 26041²

Exempel

108 är ett potensrikt tal. Dess primfaktorisering är 2² · 3³, och därmed är primtalsfaktorerna 2 och 3. Både 2² = 4 och 3² = 9 är delare av 108. Dock kan 108 inte representeras som m^k, där m och k är positiva heltal större än 1, så 108 är ett Akillestal.

784 är inte ett Akillestal. Det är ett potensrikt tal, eftersom inte bara 2 och 7 är dess primtalsfaktorer, men även 2² = 4 och 7² = 49 är delare av 784. Ändå är det en perfekt potens:

$784=2^{4}\cdot 7^{2}=(2^{2})^{2}\cdot 7^{2}=(2^{2}\cdot 7)^{2}=28^{2}.\,$

Så det är inte ett Akillestal.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Achilles number, 18 oktober 2013.