Vazhdimësia
Në logjikën deduktive, një teori në vazhdimësi është një teori që nuk çon në një kundërthënie logjike. Një teori (T) është konsistente nëse nuk ekziston asnjë formulë ( \varphi ) e tillë që si ( \varphi ), ashtu edhe mohimi i saj ( \neg \varphi ), të jenë elemente të bashkësisë së pasojave logjike të (T).
Le të jetë (A) një bashkësi fjalish të mbyllura (joformalisht, aksioma) dhe ( \langle A \rangle ) bashkësia e fjalive të mbyllura që mund të provohen nga (A) sipas një sistemi formal deduktiv të caktuar (qoftë ai i përcaktuar shprehimisht ose në mënyrë të nënkuptuar). Bashkësia e aksiomave (A) është konsistente nëse nuk ekziston asnjë formulë ( \varphi ) e tillë që si ( \varphi \in \langle A \rangle ), ashtu edhe ( \neg \varphi \in \langle A \rangle ).
Një teori triviale (domethënë, një teori që provon çdo fjali të gjuhës së teorisë) është qartazi jokonsistente. Anasjelltas, në një sistem formal eksploziv (siç janë logjika klasike ose logjika intuicioniste propozuese apo e rendit të parë), çdo teori jokonsistente është triviale.
Konsistenca e një teorie është një nocion sintaksor, ndërsa kundërpjesa e saj semantike është plotësueshmëria (satisfiability). Një teori është e plotësueshme nëse ka një model, domethënë nëse ekziston një interpretim në të cilin të gjitha aksiomat e teorisë janë të vërteta. Ky ishte kuptimi i termit konsistente në logjikën tradicionale aristoteliane, ndërsa në logjikën bashkëkohore matematikore përdoret termi e plotësueshme (satisfiable).
Në një sistem formal korrekt (sound), çdo teori e plotësueshme është konsistente, por e kundërta nuk vlen domosdoshmërisht. Nëse ekziston një sistem deduktiv në të cilin këto përkufizime semantike dhe sintaksore janë të barasvlershme për çdo teori të formuluar në një logjikë të caktuar deduktive, atëherë ajo logjikë quhet e plotë (complete). Plotësia e kalkulusit propozicional u vërtetua nga Paul Bernays më 1918 dhe Emil Post më 1921, ndërsa plotësia e kalkulusit të predikateve të rendit të parë u vërtetua nga Kurt Gödel më 1930. Dëshmitë e konsistencës për aritmetikën, të kufizuara sipas skemës së aksiomës së induksionit, u dhanë nga Ackermann (1924), von Neumann (1927) dhe Herbrand (1931). Logjikat më të fuqishme, si logjika e rendit të dytë, nuk janë të plota.
Një provë e konsistencës është një provë matematikore që tregon se një teori e caktuar është konsistente. Zhvillimi i hershëm i teorisë matematikore të provës u nxit nga dëshira për të dhënë prova finitare të konsistencës për të gjithë matematikën, si pjesë e programit të Hilbertit. Programi i Hilbertit u ndikua thellësisht nga teoremat e paplotësisë, të cilat treguan se teori të provës mjaftueshëm të fuqishme nuk mund ta provojnë konsistencën e vet (me kusht që ato të jenë konsistente).
Megjithëse konsistenca mund të provohet duke përdorur teorinë e modeleve, ajo shpesh vërtetohet në mënyrë krejtësisht sintaksore, pa pasur nevojë t'i referohet ndonjë modeli të logjikës. Eliminimi i prerjes (cut-elimination), ose në mënyrë të barasvlershme normalizimi i kalkulusit përkatës, nënkupton konsistencën e kalkulusit: meqenëse nuk ekziston asnjë provë pa prerje e një pohimi të rremë, në përgjithësi nuk mund të ketë kundërthënie.
