Pekali Gini

Tafsiran geometri pekali Gini. Pekali ini ialah nisbah kawasan A kepada jumlah kawasan A dan B.

Pekali Gini ialah ukuran statistik bagi tahap ketidaksamaan dalam sesuatu taburan. Ukuran ini paling lazim digunakan untuk menghuraikan ketidaksamaan pendapatan atau ketidaksamaan kekayaan, tetapi boleh digunakan terhadap sebarang pemboleh ubah bukan negatif yang boleh diagihkan antara unit dalam sesuatu populasi. Pekali ini dinamai sempena ahli statistik dan demografi Itali Corrado Gini, yang memperkenalkan ukuran berkenaan dalam karya Variabilità e mutabilità pada tahun 1912.

Pekali Gini biasanya dinyatakan pada skala 0 hingga 1. Nilai 0 menandakan kesamaan sempurna, iaitu setiap unit mempunyai nilai yang sama, manakala nilai yang menghampiri 1 menandakan penumpuan yang sangat tinggi pada sebilangan kecil unit. Apabila didarab dengan 100, ukuran yang sama sering disebut sebagai indeks Gini dan dinyatakan pada skala 0 hingga 100. Bagi populasi terhingga yang terdiri daripada n unit dan tidak menggunakan pembetulan sampel, keadaan apabila satu unit memiliki keseluruhan jumlah menghasilkan nilai maksimum $(n-1)/n$, yang menghampiri 1 apabila n bertambah besar.

Dalam ekonomi, nilai Gini bergantung pada perkara yang diukur dan cara data dibina, termasuk sama ada pemboleh ubahnya ialah pendapatan, penggunaan atau kekayaan; sama ada unit analisisnya individu atau isi rumah; serta sama ada cukai, pindahan sosial, saiz isi rumah dan perbezaan harga telah diambil kira. Oleh itu, perbandingan antara negara atau antara tahun hanya bermakna apabila takrif, sumber data dan kaedah pengiraan cukup serasi.

Sejarah

Corrado Gini sekitar tahun 1945.

Corrado Gini menerbitkan huraian awal ukuran yang kemudiannya dikenali sebagai pekali Gini dalam Variabilità e mutabilità pada tahun 1912. Beliau seterusnya membincangkan pengukuran ketidaksamaan pendapatan dalam makalah berbahasa Inggeris yang diterbitkan dalam The Economic Journal pada tahun 1921.

Penggunaan pekali Gini berkembang bersama-sama dengan penggunaan lengkung Lorenz, yang diperkenalkan oleh Max O. Lorenz pada tahun 1905 untuk menggambarkan penumpuan kekayaan. Hubungan geometri antara kedua-duanya menjadikan pekali Gini mudah dihuraikan sebagai luas kawasan antara lengkung Lorenz dengan garis kesamaan sempurna. Dalam kajian moden, ukuran ini digunakan oleh agensi perangkaan, organisasi antarabangsa dan penyelidik sebagai salah satu daripada beberapa petunjuk ketidaksamaan, lazimnya bersama-sama bahagian pendapatan mengikut kuintil atau desil, kadar kemiskinan dan ukuran seperti indeks Theil atau indeks Atkinson.

Takrif dan tafsiran

Hubungan dengan lengkung Lorenz

Bagi pemboleh ubah bukan negatif, unit dalam populasi disusun daripada nilai terendah kepada tertinggi. Lengkung Lorenz $L(p)$ menunjukkan bahagian kumulatif jumlah pemboleh ubah yang dimiliki oleh bahagian kumulatif $p$ daripada populasi. Garis $L(p)=p$ ialah garis kesamaan sempurna.

Jika $A$ ialah luas kawasan antara garis kesamaan dan lengkung Lorenz, manakala $B$ ialah luas kawasan di bawah lengkung itu, maka

$G={\frac {A}{A+B}}.$

Oleh sebab $A+B=1/2$, persamaan tersebut juga boleh ditulis sebagai

$G=2A=1-2B=1-2\int _{0}^{1}L(p)\,dp.$

Semakin jauh lengkung Lorenz berada di bawah garis kesamaan, semakin besar pekali Gini. Walau bagaimanapun, dua lengkung Lorenz yang berlainan boleh menghasilkan luas yang sama dan, dengan itu, pekali Gini yang sama. Nilai tunggal tersebut tidak menentukan bentuk penuh sesuatu taburan.

Perbezaan purata relatif

Pekali Gini juga boleh ditafsirkan melalui perbezaan purata Gini, iaitu purata perbezaan mutlak antara dua pemerhatian yang dipilih secara rawak. Jika $X_{1}$ dan $X_{2}$ ialah dua pemboleh ubah rawak bebas daripada taburan yang sama dan puratanya $\mu >0$, maka

$G={\frac {\operatorname {E} \left[|X_{1}-X_{2}|\right]}{2\mu }}.$

Takrif ini menunjukkan bahawa pekali Gini mengukur perbezaan berpasangan secara relatif terhadap purata taburan. Oleh sebab pembahagiannya menggunakan purata, pekali tersebut tidak berubah apabila semua nilai didarab dengan pemalar positif, tetapi akan berubah jika jumlah tetap yang sama ditambah kepada setiap nilai.

Pengiraan

Data individu

Bagi $n$ pemerhatian bukan negatif $x_{1},\ldots ,x_{n}$ dengan purata ${\bar {x}}>0$, pekali Gini boleh dikira terus daripada semua pasangan:

$G={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|x_{i}-x_{j}|}{2n^{2}{\bar {x}}}}.$

Jika nilai disusun menaik supaya $x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \cdots \leq x_{(n)}$, formula yang setara dan lebih cekap ialah

$G={\frac {2\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i\,x_{(i)}}{n\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{(i)}}}-{\frac {n+1}{n}}.$

Formula ini memberikan 0 apabila semua pemerhatian sama. Jika hanya satu daripada $n$ pemerhatian mempunyai nilai positif, hasilnya ialah $(n-1)/n$. Pembetulan mudah $G^{*}={\frac {n}{n-1}}G$ kadangkala digunakan supaya had atas sampel menjadi 1, tetapi pembetulan tersebut tidak semestinya menghapuskan semua bias sampel kecil bagi setiap taburan.

Data berkumpulan

Apabila hanya bahagian kumulatif populasi dan bahagian kumulatif pemboleh ubah tersedia, pekali Gini boleh dianggarkan daripada titik-titik lengkung Lorenz. Andaikan $(X_{k},Y_{k})$ bagi $k=0,\ldots ,m$ ialah titik yang diketahui, dengan $(X_{0},Y_{0})=(0,0)$ dan $(X_{m},Y_{m})=(1,1)$. Jika segmen lurus digunakan antara titik berturutan, maka

$G\approx 1-\sum _{k=1}^{m}(X_{k}-X_{k-1})(Y_{k}+Y_{k-1}).$

Anggaran daripada kumpulan besar seperti kuintil atau desil biasanya kehilangan maklumat dalam setiap kumpulan dan boleh menghasilkan nilai yang berbeza daripada pengiraan berasaskan data mikro. Ketepatannya bergantung pada bilangan kumpulan dan kaedah interpolasi yang digunakan.

Anggaran dan ketidakpastian

Pekali yang dikira daripada sampel ialah suatu anggaran bagi populasi sasaran. Nilai titik wajar disertai ralat piawai atau selang keyakinan apabila ketidakpastian pensampelan penting. Kaedah yang digunakan termasuk kaedah butstrap, kaedah jackknife dan kaedah analitik yang mengambil kira reka bentuk tinjauan serta pemberat sampel.

Sifat statistik

Pekali Gini memenuhi beberapa sifat yang lazim digunakan untuk menilai ukuran ketidaksamaan:

• Simetri atau ketanpanamaan: nilai pekali tidak bergantung pada identiti unit, tetapi hanya pada nilai yang diagihkan.
• Kebebasan skala: pendaraban semua pemerhatian dengan pemalar positif tidak mengubah pekali.
• Prinsip replikasi populasi: penggandaan keseluruhan populasi bersama-sama dengan taburannya tidak mengubah pekali.
• Prinsip pemindahan Pigou–Dalton: pemindahan kecil daripada unit yang lebih tinggi nilainya kepada unit yang lebih rendah, tanpa membalikkan susunan kedua-duanya, mengurangkan ketidaksamaan.

Sebaliknya, pekali Gini tidak bebas daripada perubahan asal skala. Menambah jumlah positif yang sama kepada semua pemerhatian biasanya menurunkan pekali walaupun semua perbezaan mutlak kekal sama. Pekali ini juga bukan ukuran ketidaksamaan yang boleh dijumlahkan secara langsung mengikut subkumpulan: pekali keseluruhan tidak diperoleh dengan sekadar menjumlahkan atau memuratakan pekali bagi wilayah, kumpulan umur atau kumpulan sosial. Penguraian memerlukan kaedah khusus yang menangani ketidaksamaan dalam kumpulan, antara kumpulan dan pertindihan taburan.

Penggunaan dalam pengukuran ekonomi

Pendapatan, penggunaan dan kekayaan

Dalam statistik ekonomi, pekali Gini boleh digunakan terhadap pendapatan pasaran, pendapatan boleh guna, penggunaan atau kekayaan bersih. Ukuran tersebut tidak boleh dianggap saling bertukar ganti. Sebagai contoh, Pertubuhan Kerjasama dan Pembangunan Ekonomi lazimnya melaporkan pekali berasaskan pendapatan boleh guna isi rumah yang disetarakan, iaitu pendapatan selepas cukai langsung dan pindahan tunai yang diselaraskan mengikut saiz isi rumah. Sebaliknya, pangkalan data Bank Dunia mengandungi taburan yang berasaskan pendapatan atau penggunaan, bergantung pada tinjauan isi rumah yang tersedia bagi sesebuah ekonomi.

Pilihan pengukuran yang mempengaruhi nilai Gini

Dimensi	Pilihan lazim	Kepentingan untuk tafsiran
Pemboleh ubah	Pendapatan pasaran, pendapatan boleh guna, penggunaan atau kekayaan bersih	Setiap pemboleh ubah menggambarkan sumber ekonomi yang berlainan; nilainya tidak boleh dibandingkan seolah-olah mewakili konsep yang sama.
Unit analisis	Individu, isi rumah atau individu yang diberikan nilai isi rumah	Saiz dan komposisi isi rumah mengubah jumlah sumber yang tersedia bagi setiap orang.
Pelarasan isi rumah	Per kapita atau skala kesetaraan	Skala kesetaraan mengambil kira bahawa keperluan isi rumah tidak semestinya meningkat secara berkadar dengan bilangan ahlinya.
Cukai dan pindahan	Sebelum atau selepas cukai, sumbangan sosial dan pindahan tunai	Perbezaan antara ukuran sebelum dan selepas pengagihan semula boleh digunakan untuk mengkaji kesan sistem fiskal dan perlindungan sosial.
Liputan dan harga	Pendapatan tunai sahaja atau termasuk pendapatan bukan tunai; harga semasa atau dilaraskan	Perbezaan liputan, inflasi dan kos sara hidup boleh menjejaskan kebolehbandingan antara tempat dan masa.

Oleh sebab pekali Gini bersifat relatif, penurunannya tidak semestinya bermaksud bahawa pendapatan setiap orang meningkat, dan kenaikannya tidak semestinya bermaksud bahawa kemiskinan mutlak bertambah. Perubahan nilai perlu dibaca bersama-sama ukuran taraf hidup, median pendapatan, bahagian pendapatan kumpulan tertentu dan kadar kemiskinan.

Perbandingan antara negara dan masa

Perbandingan yang boleh dipercayai memerlukan takrif kebajikan, unit analisis, rawatan cukai dan pindahan, tahun rujukan, liputan penduduk serta kaedah tinjauan yang serasi. Tinjauan isi rumah juga mungkin kurang meliputi isi rumah yang sangat kaya, gelandangan, penduduk berpindah-randah atau kumpulan yang sukar ditemui, lalu menjejaskan hujung taburan.

Atas sebab tersebut, nilai daripada pangkalan data yang berlainan, atau nilai berasaskan pendapatan dan penggunaan, tidak wajar disusun dalam satu kedudukan tanpa penjelasan metodologi. Tahun yang tertera bagi sesuatu negara lazimnya ialah tahun tinjauan, bukan semestinya tahun penerbitan data. Perbandingan arah aliran juga perlu mengambil kira perubahan soal selidik, reka bentuk sampel, takrif pendapatan dan kaedah pelarasan yang mungkin mewujudkan putus siri.

Batasan

Satu nilai bagi keseluruhan taburan

Pekali Gini meringkaskan seluruh taburan kepada satu nombor. Dua taburan boleh mempunyai pekali yang sama walaupun bahagian sumber yang diterima oleh kumpulan bawah, pertengahan dan atas sangat berlainan. Jika lengkung Lorenz dua taburan bersilang, penentuan taburan yang lebih sama juga boleh bergantung pada ukuran atau pertimbangan normatif yang dipilih.

Ukuran ini memberikan berat kepada perbezaan di seluruh taburan, tetapi secara relatif kurang peka terhadap perubahan yang hanya berlaku pada hujung paling bawah atau paling atas berbanding sesetengah ukuran yang direka khusus untuk hujung taburan. Oleh itu, penyelidik sering melengkapkannya dengan bahagian pendapatan 10 peratus teratas, bahagian 40 peratus terbawah, nisbah desil, nisbah Palma, indeks Theil atau indeks Atkinson.

Kebergantungan pada data dan takrif

Nilai Gini tidak mempunyai makna yang lengkap tanpa penerangan tentang data asasnya. Penggunaan pendapatan kasar, pendapatan boleh guna, penggunaan atau kekayaan boleh menghasilkan gambaran yang berlainan. Begitu juga, pengiraan berasaskan individu tidak semestinya sama dengan pengiraan berasaskan isi rumah, manakala pelarasan per kapita dan skala kesetaraan menggunakan andaian yang berlainan tentang keperluan ahli isi rumah.

Data yang dibahagikan kepada beberapa kumpulan sahaja kehilangan variasi dalam kumpulan. Kesilapan ukuran, ketiadaan jawapan, pelaporan pendapatan yang tidak lengkap dan kesukaran menangkap kekayaan atau pendapatan paling tinggi turut boleh menyebabkan nilai dianggarkan terlalu rendah atau terlalu tinggi.

Nilai sifar dan negatif

Takrif biasa pada julat 0 hingga 1 mengandaikan pemboleh ubah bukan negatif dan purata positif. Nilai sifar boleh dimasukkan, tetapi bilangan pemerhatian sifar mempengaruhi bentuk taburan. Jika nilai negatif dibenarkan, seperti kerugian perniagaan atau kekayaan bersih negatif, lengkung Lorenz biasa boleh merentasi garis tertentu dan pekali yang dihitung mungkin berada di luar julat 0 hingga 1 atau kehilangan tafsiran lazimnya. Kaedah penguraian mengikut sumber pendapatan juga boleh memberikan hasil yang mengelirukan apabila pendapatan negatif tidak ditangani dengan sewajarnya.

Kegunaan di luar ekonomi

Walaupun paling dikenali sebagai ukuran ketidaksamaan ekonomi, konsep Gini boleh diterapkan pada taburan bukan negatif dalam bidang lain:

• Dalam ekologi, pekali ini telah digunakan untuk mengukur ketidaksamaan kelimpahan spesies dan mengkaji hubungan antara kesamarataan awal komuniti mikrob dengan fungsi ekosistem.
• Dalam kesihatan awam, pekali Gini telah digunakan untuk meringkaskan ketidaksamaan dalam kualiti hidup berkaitan kesihatan dan menguraikannya mengikut kumpulan penduduk.
• Dalam kimia perubatan, ukuran ini telah digunakan untuk menyatakan tahap selektiviti perencat kinase terhadap panel kinase.
• Dalam rangkaian komputer, indeks Gini telah digunakan sebagai ukuran kesaksamaan segera bagi pengagihan perkhidmatan antara aliran trafik dalam penjadualan paket.

Penggunaan dalam bidang lain memerlukan takrif jelas tentang unit, pemboleh ubah yang diagihkan dan makna “kesamaan”. Nilai yang sama tidak semestinya mempunyai tafsiran substantif yang sama dalam ekonomi, ekologi, kesihatan atau kejuruteraan.

Lihat juga

• Lengkung Lorenz
• Ketidaksamaan ekonomi
• Ketidaksamaan pendapatan
• Indeks Atkinson
• Indeks Theil
• Nisbah Palma
• Indeks Hoover
• Perbezaan purata Gini
• Taburan Pareto

Bacaan lanjut

• Cowell, Frank A. (2011). Measuring Inequality (dalam bahasa Inggeris) (ed. 3). Oxford: Oxford University Press. ISBN 9780199594030.
• Yitzhaki, Shlomo; Schechtman, Edna (2013). The Gini Methodology: A Primer on a Statistical Methodology (dalam bahasa Inggeris). New York: Springer. doi:10.1007/978-1-4614-4720-7. ISBN 978-1-4614-4719-1.
• Giorgi, Giovanni Maria (1990). "A Bibliographic Portrait of the Gini Concentration Ratio". Metron (dalam bahasa Inggeris). 48: 183–231.

Pautan luar

• Takrif dan metadata indeks Gini oleh Bank Dunia
• Poverty and Inequality Platform, Bank Dunia
• Petunjuk ketidaksamaan pendapatan OECD