Kosinusna teorema

Kosinusna teorema se koristi za rješavanje trougla u trigonometrijskoj ravni:

$\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,$ gdje je α ugao nasuprot stranice a.

U sfernoj trigonometriji to je formula za rješavanje sfernog trougla:

$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C$

$\cos C=-\cos A\cos B+\sin A\sin B\cos c$

gdje je a strana nasuprot ugla A, strana b nasuprot ugla B, a strana C je nasuprot ugla C.

U ravni

U svakom trouglu je $\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,$ gdje je ugao $\alpha$ nasuprot stranice a

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta$ gdje je ugao $\beta$ nasuprot stranice b

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$ gdje je ugao $\gamma$ nasuprot stranice c

Dokaz

Neka je dat je oštrougli trougao ABC sa visinom CD.

Iz pravouglih trouglova BCD i ACD prema Pitagorinoj teoremi je

$a^{2}=h^{2}+(c-p)^{2},\;h^{2}=b^{2}-p^{2},$ zamjenom

$\ a^{2}=b^{2}+(c^{2}-2pc+p^{2})-p^{2},$ i

$\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2pc.$ pravouglog trougla ACD dobijamo

$p=b\cos \alpha ,\,$ i zamenom u prethodnu jednakost

$\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,$

Za tupougli trougao ABC, sa uglom $\alpha$ u tjemenu A, većim od pravog ugla (90°). Visina CD = h pada na produžetak stranice AB u tačku D tako da je D-A-B, te je spoljašnji ugao CAD = 180°-α. U trouglu CAD je

DA = $\ p=b\cos(180^{o}-\alpha )=-b\cos \alpha .$

trouglovi BCD i ACD su pravougli i, prema Pitagorinoj teoremi imamo

$a^{2}=h^{2}+(c+p)^{2},\;h^{2}=b^{2}-p^{2},$

$\ a^{2}=b^{2}-p^{2}+(c^{2}+2pc+p^{2})=b^{2}+c^{2}+2pc,$

$\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha ,$

Kosinusna teorema se može dokazati jednostavno i bez razmatranja različitih rasporeda koristeći vektorski račun.

${\displaystyle a^{2}={\overrightarrow {BC}}^{2}=({\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}})^{2}={\overrightarrow {AC}}^{2}-2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {AB}}^{2}=b^{2}-2bc\cos \alpha +c^{2}.}$ ( ${\displaystyle \cdot }$ skalarni proizvod.)

Na sličan način dobijamo oatale formule

Za ugao $\gamma =90^{o}=>cos90^{o}=0$, imamo $c^{2}=a^{2}+b^{2},$ poseban slučaj kosinusne teoreme Pitagorina teorema.

Posljedice

Kvadrat bilo koje stranice trougla manji je, jednak ili veći od zbira kvadrata ostale dvije stranice, zavisno da li je suprotni ugao oštar, prav ili tup.

Dokaz:

Ako je $\alpha <90^{o},\,$ onda je $\cos \alpha >0\,$ i $a^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha <b^{2}+c^{2}.\,$

Ako je $\alpha =90^{o},\,$ onda је $\cos \alpha =0\,$ i $c^{2}=a^{2}+b^{2}.\,$

Аkо је $\alpha >90^{o},\,$ ondа је $\cos \alpha <0\,$ i $a^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha >b^{2}+c^{2}.\,$

Važi i obrnuta teorema

Теоrеmа:

Ugao trougla је оštar, рrаv, ili tup zavisno od toga da li je kvadrat suprotne stranice trougla redom je manji, jednak ili veći od zbira kvadrata ostale dvije stranice.

Dokaz:

Ako је $a^{2}<b^{2}+c^{2},\,$ onda je $\cos \alpha >0,\,$ prema tome je $\alpha <90^{o}.\,$

Аko је $a^{2}=b^{2}+c^{2},\,$ onda je $\cos \alpha =0,\,$ tј. $\alpha =90^{o}.\,$

Ako је $a^{2}>b^{2}+c^{2},\,$ onda је $\cos \alpha <0,\,$ tј. $\alpha >90^{o}.\,$

U bilo kojem paralelogramu zbir kvadrata dijagonala jednak je zbiru kvadrata sve četiri njegove strane.

${\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}=2{\overline {AB}}^{2}+2{\overline {BC}}^{2}.$

${\overline {BD}}^{2}={\overline {AD}}^{2}+{\overline {AB}}^{2}-2{\overline {AB}}\cdot {\overline {AD}}\cdot \cos \alpha ,$

${\overline {AC}}^{2}={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}\cdot \cos(180^{o}-\alpha )$

$={\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+2{\overline {AB}}\cdot {\overline {AD}}\cos \alpha ,$ јер је ${\overline {BC}}={\overline {AD}}.$

Sabiranjem dobijamo

${\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}=2{\overline {AB}}^{2}+2{\overline {BC}}^{2},$

Korištenje teoreme

Teoremu koristimo za rješavanje trougla

• ako znamo dvije stranice i ugao naspram tražene stranice

$\,c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;$

• Uglove trougla ako znamo sve tri stranice

$\,\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;$

• Treča stranica ako znamo dvije stranice i ugao naspram jedne od njih

$\,a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.$ Ako se radi pravouglom trouglu koristi se Pitagorina teorema

Koristeći Pitagorin teorem

Tupi ugao

Teoremu dokazuje Euklid pomoću Pitagorinu teoremu

$c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},\,$

$d^{2}+h^{2}=a^{2}.\,$

$c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.\,$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.\,$

$d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos \gamma .\,$

Oštri ugao

${\begin{aligned}c^{2}&{}=(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&{}=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\&{}=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma ,\end{aligned}}$

$\cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1.\,$

Koristeći Ptolomejevu teoremu

${\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}$

$a^{2}+c^{2}=b^{2}.\quad$

Također pogledajte

• Sinusni teorem
• Tangensni teorem
• Triangulacija

Izvori

• Cosine theorem /19 March 2014.
• The Law of Cosines (Cosine Rule)
• The Law of Cosines- Formula and examples of law of cosines