Grupo circular

O grupo circular (também chamado grupo do círculo, círculo topológico ou denotado por T ou S¹) é um objeto fundamental em diversas áreas da matemática, como topologia algébrica, análise harmônica e teoria de grupos de Lie. Trata-se do grupo aditivo dos números reais módulo os números inteiros, R/Z, ou equivalentemente do grupo multiplicativo dos números complexos de módulo unitário (o círculo unitário no plano complexo).

Definição

O grupo circular pode ser definido de duas formas equivalentes (isomorfas):

Como o grupo quociente R/Z, onde R é o grupo aditivo dos números reais e Z é o subgrupo dos inteiros. Dois reais x e y são identificados se sua diferença for um inteiro: x ∼ y ⇔ x − y ∈ Z.
Como o grupo multiplicativo U(1) = {z ∈ C : |z| = 1}, equipado com a operação de multiplicação complexa. Geometricamente, corresponde ao conjunto dos pontos do círculo unitário no plano complexo.

Existe um único isomorfismo contínuo (salvo por automorfismo) entre essas duas realizações. Esse isomorfismo está intimamente ligado à constante π.

Relação com a constante π

Uma definição sofisticada e independente de geometria euclidiana da constante π utiliza o grupo circular:

Existe um único isomorfismo contínuo (salvo automorfismo) do grupo R/Z (grupo circular aditivo) para o grupo multiplicativo de números complexos de módulo unitário. O número π é definido como metade da magnitude da derivada desse homomorfismo (ou, equivalentemente, metade da magnitude da derivada de Radon–Nikodym associada à medida de Haar).

Isso implica que π surge naturalmente da estrutura topológica e de grupo do círculo, sem recorrer diretamente à razão circunferência/diâmetro.

Caracteres e análise harmônica

Os caracteres do grupo circular T = R/Z são os homomorfismos contínuos de T para U(1). Eles são dados pela fórmula:

e_{n}(x)=e^{2\pi inx}

,

onde n ∈ Z e x ∈ R/Z.

Esses caracteres formam uma base ortonormal (no sentido de L²) para a decomposição em série de Fourier de funções periódicas definidas no grupo circular. A constante 2π aparece como o "período natural" associado à medida de Haar normalizada nesse grupo.

Propriedades

É um grupo abeliano, compacto, conexo e divisível.
É isomorfo (como grupo de Lie) ao grupo SO(2) das rotações no plano (grupo especial ortogonal de dimensão 2).
Sua dualidade de Pontryagin é novamente o grupo dos inteiros Z (com a topologia discreta).
É o único grupo topológico (a menos de isomorfismo) que realiza o círculo como espaço topológico com estrutura de grupo contínuo.

Ver também

Referências

Bibliografia

Nicolas Bourbaki. Éléments de mathématique: Topologie générale (ou volumes relacionados de Análise/Grupos de Lie). Hermann/ Springer. (citado na π para a definição do grupo circular via isomorfismo contínuo R/Z → U(1) e magnitude da derivada definindo π).
Bourbaki, Nicolas (1960–1980). Éléments de mathématique. Paris: Hermann
H. Dym e H. P. McKean. Fourier Series and Integrals. Academic Press, 1972. Capítulo 4. (citado para a ligação de π com a medida de Haar no grupo T e dualidade de Pontryagin).
Dym, H.; McKean, H. P. (1972). Fourier Series and Integrals. New York: Academic Press. pp. Capítulo 4
Artigo π na Wikipédia em português (seções "Definição" e "Série de Fourier"), que menciona explicitamente o grupo circular como R/Z e sua relação com π.
Para o círculo unitário e grupo multiplicativo: Círculo unitário.